文档介绍：线性系统的稳定性分析
一个线性控制系统能够正常工作的首要条件就是它必须是稳定的。
控制系统在实际运行中，不可避免地会受到外界或内部的一些扰动因素的影响，从而会使系统各物理量偏离原来的工作状态。
系统的初始条件为零，
外部激励为脉冲函数输入信号，即研究单位脉冲响应g(t)，随着时间推
移并趋向无穷大时的衰减和发散情况。这种假设相当于在扰动信号作用
下，输出信号偏离原来的工作状态的情形。
2．线性控制系统稳定性的充分必要条件
序号
脉冲函数极限值
脉冲响应衰减情况
稳定状态
1
衰减
系统稳定
2
发散
系统不稳定
3
或等幅振荡
系统临界稳定
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若时间 时，脉冲响应函数 趋向于零，则系统是稳定的，若发散则系统不稳定，若等于某个定值或趋于等幅振荡则系统临界稳定。
线性系统稳定的充分必要条件为：系统微分方程的特征根全部都是负实数或实部为负的复数，也即，系统闭环传递函数的极点均位于s平面的左半平面。
，
当特征根出现正实数或实部为正的复数或有极点分布于s平面的右半平面时，线性系统为不稳定；当特征根出现纯虚数或有极点位于s平面的虚轴时，线性系统为临界稳定。
不
稳
定
区
域
稳
定
区
域
临界稳定
S平面
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解：闭环统的传递函数为 ，其闭环极点为 、 ，所以系统稳定。
[例3] 单位负反馈控制系统的开环传递函数为： ，试判别闭环系统的稳定性。
[例1]系统的闭环传递函数为： ，判别系统稳定性。
解：由给定闭环传递函数可知系统的闭环极点分别为 、 ，所以系统稳定。
[例2]已知线性系统的闭环特征方程为 ，试判别系统的稳定性。
解：由给定的闭环特征方程 ，可求得特征根为： ， ，依据线性系统稳定的充分必要条件可知系统为临界稳定。
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3．代数稳定判据
设线性系统的特征方程为： ，
依照以下的方法构造劳斯表，构造方法如下：
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二阶系统： ，构造劳斯表：
劳斯判据：线性系统稳定的充分必要条件是劳斯表第一列的所有元素符号不改变，且符号改变的次数为特征根位于s右半平面的个数。
[例4] 讨论二阶、三阶系统稳定的充分必要条件。
由劳斯表并依据劳斯判据可知，二阶系统稳定的充分必要条件为：
三阶系统： ，构造劳斯表：
由劳斯表并依据劳斯判据可知，三阶系统稳定的充分必要条件为：
且
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[例5] 设闭环系统的特征方程为 ，试判别其稳定性。
解：构造劳斯表
由劳斯表可见，其第一列元素的符号发生了2次改变，所以该系统是不稳定的，且有2个特征根位于s右半平面。
在构造劳斯表的时候，可能会遇到2种特殊的情况，致使劳斯表无法正常构造，为此需要进行相应的数学处理，具体的方法如下：
第一种特殊情况：劳斯表中第一列的某一行元素出现零元素。
结论：当出现这种情况时，说明系统特征方程式具有正实数根或纯虚根，表明系统不稳定或临界稳定。
处理方法：可以用一个小正数 来代替那个零元素，然后继续构造下去，并令 ，判别第一列元素符号改变的次数。
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[例6] 设系统的特征方程为
解：构造劳斯表如下，并作特殊处理。
由劳斯表可见，其第一列元素的符号没有改变，故系统临界稳定，存在一对虚根。
第二种特殊情况：劳斯表中出现某一行元素全为零。
结论：出现这种特殊情况，说明存在着等值反号的实数根或成对出现的纯虚根或对称于s平面坐标轴原点的偶数对共轭复数根。特征方程存在着大小相等而径向相反的根。可见系统是不稳定的或临界稳定。
处理方法：利用全零行上一行的元素及相应的阶次构造辅助多项式 ，并以 各系数代替全零行元素，