文档介绍：电子在库仑场中的运动(氢原子、类氢原子)
考虑一个电子在一个带正电的核所产生的电场中运动,核的电荷数为Ze,取核为坐标原点,电子受核的库仑吸引势能为:
哈密顿算符为:
本征值方程为:
应用分离变量法解此方程,设方程的解为
R(r )是r的径向函数。Y(, )是, 的函数。
利用
将试解代入薛定谔方程,
即角动量平方算符的本征值方程,=l(l+1), 代入径向方程
E>0, 体系能量为连续谱,电子已电离,可运动到无限远处。
E<0, 具有分立谱,电子的状态是束缚态。
为了简化方程,作变换
得到u(r )所满足的方程:
作代换: =r
令
当,
取 u() 的形式如下:
代入方程,得到f()所满足的方程:
f 可由幂级数展开
为了保证
在r=0处有限,s必须不小于1。
由 s+1的系数等于零,得到bv 所满足的关系式
波函数的有限性要求f()为中断多项式
以nr代替
另外,幂级数是从=0开始的,所以b-1=0, 因为b0 0
s(s -1)=l(l+1)
得到s1=l+1, s2=-l (舍去)
将s=l+1代入
nr称为径向量子数, n 称为主量子数或总量子数,n =1,2,3, …代入下面的关系式:
能量本征值:
束缚态的波函数
nlm与三个量子数都有关,而能量只与量子数n有关,所以能级En是简并的
对应一个n, l =0, 1, 2, …, n-1, 共n个值,对应一个l, m可以取2l+1个值。
基态波函数
为玻尔半径