文档介绍：换元积分法和分部积分法
主要内容:
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主要内容:
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一、换元积分法
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换元积分法分第一换元积分法和第二换元积分法两类。
求
分析由于被积函数cos3x是一个复合函数,因此不能直接用基本积分公式
解
验证
确实是cos3x的元函数,上述方法正确。
1. 第一换元积分法
例1
3
当不定积分不能用基本积分公式直接求出,但被积表达式具有形式
可作变量代换
得
而积分
可以求出,不妨设 f(u) 的原函数F(u),
于是有
设 f (x) 及
连续,且
则作变量代换
后,有
例1说明:
定理1(第一换元积分法)
可得
4
在不定积分基本公式中若积分变量不是
连续)
则公式仍成立. 例如
自变量 x,而是中间变量 u(设
运用第一换元积分法求不定积分的步骤:
(1) 把被积函数分解为两部分因式相乘的形式,其中一部分是
(2)凑微分
并作变量代换
从而把关于积分变量 x 的不定积分转化为关于新积分变量 u 的不定积分.
由定理1知:
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求
把被积函数中的 2x+1 看作新变量 u , 即令
求
把被积函数中的
看作新变量 u,即令
例2
解
例3
解
u=2x+1 ,得
6
把被积函数中的
看作新变量u,即令
求
第一换元积分法的关键是“凑微分”,因而第一换元积分法又称为凑微分法。
例4
解
熟练以后,新变量 u 可以省略不写。
7
求
解
求
解
例5
例6
8
求
解
由上例易得
例7
9
求
解
类似地可得
求
解
类似地可得
例8
例9
10