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数值分析课程实验报告
题目：病态线性方程组的求解
理论分析表明，
2
这就是对Hilbert矩阵的-2条件数与其阶数n的关系估计。可见Hilbert矩阵的2-条件数会随其阶数n的增加呈指数增大趋势，因此当n较大时Hilbert矩阵将是严重病态的，甚至导致matlab中inv求逆运算失真。
2•对不同的n采用各种方法求解方程
调用自编的Calc主函数(其中包括的Hilbert函数以及b_函数可创建出对应阶数的H矩阵以及向量b，Gauss_Cal函数、Jacobi_Cal函数、Gauss_Seidel_Cal函数、SOR_Cal函数(该函数自动寻找最优松弛因子，然后以最优因子进行求解)以及CG_Cal函数则可完成各自方法的求解)，分别取n=2,5,10,20,50，对于迭代法设定终止计算精度为£=10-10，所得计算结果以16位有效数字输出，分别见表2~表6。
=2的计算结果从表2可看出，n=2时，四种迭代法都能够收敛，迭代次数最大为e+2量级J法），最小仅要2次（CG法），并且五种解法都能给出非常精确的结果，最大误差为e-10量级（GS法）。
求解方法
迭代矩阵谱半径P；是否收敛
迭代次数
N
解向量x
误差e
GAUSS
消元
——
——
1

-016
Jacobi迭
代

收敛
169

-011
GS迭代

收敛
77

**********e-010
SOR迭代

(①)
b
收敛
26

-011
CG迭代
收敛
2
1
1
-015
=5的计算结果
求解方法
迭代矩阵谱半径p；是否收敛
迭代次数N
误差e
GAUSS消兀
——
——
-012
Jacobi迭代
**********
不收敛
——
——
GS迭代

收敛
231815
-006

SOR迭代
()
b
21500
-008
收敛
CG迭代
收敛
7
-011
从表3可以看出，n=5时，J法已经不收敛，其余解法依然收敛（但值得注意的是GS法以及SOR法的谱半径以及非常接近1,达到了收敛的边缘），最大迭代次数达到e+6量级（GS法），最小需