文档介绍：（优选）矩阵的标准形
第一页，共六十七页。
一元多项式
n 是一个非负整数，表达式
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第二页，共六十七页。
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则称 f(x)与 g(x)相等，记作 f(x)= g(x)。
若其同次项的系数
不变因子(Invariant divisor)
(3)
Remark.
第二十八页，共六十七页。
例
第二十九页，共六十七页。
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(3)定义：设 A(l)的各阶不变因子在复数域的标准分解式
初等因子
称指数为A(l)的初等因子。
.
第三十页，共六十七页。
例
第三十一页，共六十七页。
的初等因子:
初级因子与Jordan块的关系
对于ni阶的Jordan块，我们有：
第三十二页，共六十七页。
初级因子与Jordan块的关系
(4)
第三十三页，共六十七页。
例
第三十四页，共六十七页。
例设
求矩阵 A 的 Jordan标准形。
初等因子组:
第三十五页，共六十七页。
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l 阵的标准形
定义. 元素是 l 的多项式的矩阵称为l 矩阵，记作A(l )
例如
第三十六页，共六十七页。
定义. 设l 矩阵 A(l), B(l) 满足
称 A(l )为可逆的l 矩阵，且B(l )为A(l )的逆。
显然， A(l )可逆
第三十七页，共六十七页。
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定义. l 矩阵的初等变换
第三十八页，共六十七页。
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定义: 若l 矩阵 A(l) 经过若干次初等变换变为B(l)，
l 矩阵的等价
则称 A(l)与B(l) 等价，记作
第三十九页，共六十七页。
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定理：设 A(l) 为 m×n 阶l 矩阵，则A(l)等价于分块
对角阵
称为 A(l) 等价标准形，其中
并且首项系数为 1，
l 矩阵的等价标准形
第四十页，共六十七页。
例：求l 矩阵的等价标准形
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第四十一页，共六十七页。
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第四十二页，共六十七页。
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第四十三页，共六十七页。
l 矩阵的秩
定义：l 矩阵A(l)的不恒为零的子式的最高阶数
显然，等价的 l 矩阵有相同的秩。
称为A(l)的秩。
事实上，l 矩阵的初等变换不会改变其子式恒为零与否
的状态，也就不会改变其不恒为零子式最高阶数。
例如，A 为 n 阶数字方阵，则
不恒为零，故
的秩为 n 。
第四十四页，共六十七页。
行列式因子
定义：l 矩阵A(l)的所有 k 阶子式的首1最大公因式称为A(l)的 k 阶行列式因子，记作Dk(l)
定理：等价的 l 矩阵有相同的各阶行列式因子。
事实上，初等变换不会改变 A(l)各阶子式的最大公因式
也就不会改变其各阶行列式因子。
第四十五页，共六十七页。
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例：求A(l)的等价标准形的各阶行列式因子。
依行列式因子的定义：
第四十六页，共六十七页。
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不变因子和初等因子
定义：设为l 矩阵 A(l)的k 阶行列式因子，
定理：等价的 l 矩阵有相同的各阶不变因子。
称为A(l)的 k 阶不变因子。
定理：等价的 l 矩阵有相同的初等因子。
第四十七页，共六十七页。
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定理：l 矩阵的等价标准形是唯一的，
我们称之为Smith标准形.
注意到，A(l)的等价标准形中D(l)的对角元是A(l)的
各阶不变因子。
第四十八页，共六十七页。
求矩阵的Jordan标准形的方法（II）
第四十九页，共六十七页。
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例2 设
求矩阵 A 的并求Jordan标准形
第五十页，共六十七页。
解：
第五十一页，共六十七页。
第五十二页，共六十七页。
第五十三页，共六十七页。
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求矩阵的Jordan标准形J，并求可逆阵P, 使
例设
（）
第五十四页，共六十七页。
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解：A的Jordan标准形为
第五十五页，共六十七页。
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第五十六页，共六十七页。
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第五十七页，共六十七页。
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定义：设 A 为 n 阶方阵，若多项式
满足
则称 j (l) 为 A 的零化多项式。
矩阵的最小多项式
第五十八页，共六十七页。
第五十九页，共六十七页。
定理：( Hamilton-Cayley )
设 A 为 n 阶方阵，则 A 的特征多项式
为 A 的零化多项式。
第六十页，共六十七页。
哈密顿（Hamilton，William Rowan)爱尔兰人．
哈密顿自幼聪明，被