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矩阵函数的第二种计算方法：
∵矩阵A的最小多项式mA(λ)是m次多项式，故对
任一多项式g(λ),存在次数小于m的多项式P(λ),使得
g(Α)= P(A) .
4m −1
令P (λ)为如下m-1次多项式 Paaa()λ =+01λλ ++" m −1
P (λ)共有m个待定系数 aa01,,," am − 1而 (3) 式正是这
阵的行列式不为零，因此有唯一解，从而 aa01,,," am − 1
可以唯一确定，有了P(λ)可以算出P(A), 从而f(A)= P(A)
也就得到了.
矩阵函数的第二种计算方法：
(λ),确定次数m及根与根的重数；
m −1
(λ)为 Paaa()λλ=+01 ++" m − λ1 ,
由(3)式确定出系数 aa01,,," am − 1
(Α)从而得到f(Α).
5⎡⎤214
例1：设 ⎢⎥ At
A=⎢⎥020 求矩阵函数 e
⎣⎦⎢⎥031
解： (1)先求A的最小多项式
法1: DDλλ= 11， = ，
⎡λ−−21 − 4⎤ 12( ) ( )
λλ 2
⎢ ⎥ D (λλ)=−( 12) λ( −)
EA−=⎢ 020 − ⎥ 3
⎢ 031− − ⎥ dd12(λλ)= 11， ( )= ，
⎣ ⎦ 2
d (λλ)=−( 12) λ( −)
λ 3
⎡⎤10 0
⎢⎥
2
∴λEA−≅⎢⎥01 0 ,即m A (λλ)=−( 12) λ( −)
⎢⎥2
00()()−− 1 2
6 ⎣⎦⎢⎥
λλ法2:
2
||12,λλλEA−=−( )( −) 直接验证知 (λλ−12)( − ) 不是
A的零化多项式
2
m A (λλ)=−( 12)( λ − )
mA(λ) 的最高次数为3, 根为1,2, 重数分别为1,2.
2
(2)设 Paaa()λλλ= 01++ 2, ( a 2 ≠ 0)
fe()λ = λt ,则 fA()= eAt ,
t ⎧aee=−43tt22 + 2 te t
Pf(1)= (1) ⇔ aaae012+ += 0
2t ⎪ tt22 t
Pf(2)= (2) ⇔ aaae012++=24 得 ⎨aeete1 =−44 + − 3
2t ⎪aeete=−tt22 + t
Pf′′(2)= (2) ⇔ aate12+=4 ⎩ 2
∴ Peeteeete()λ =− 4tt 322 + 2 t +−+( 4 tt 422 − 3 t) λ
tt222 t
7 +−+(ee te)λPe()λ =−++tt() 4 4λλ λλ22 λλ