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上传人:Seiryu 2022/5/26 文件大小:622 KB

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有限元分析法.pdf

文档介绍

文档介绍:: .
消除黑匣子综合症,同时也是
对固体力学的基本分析方法作一总结。

桁架的矩阵分析法
在模块 5 中,比较充分地讨论过铰接的桁架,这为引入有限元分析的概念提供了很好的
途径。对桁架精确地进行静力学分析,即使是复杂的桁架,其方程也能集成为矩阵形式,以
便于用数值方法求解。此法有时称为“矩阵分析法”,它为早期有限元分析法的发展奠定了
基础。
桁架的矩阵分析法逐一考虑每根杆件的刚度,然后用这些刚度来确定由于节点(在有限
元分析中通常称为结点)位移而产生的杆件力。注意到每根杆件对结点作用力的矢量和必须
等于作用在结点处的外力,我们可以列出一系列线性代数方程。在这些方程中,结点位移是
未知量而作用在结点上的力是已知量。这些方程可以方便地写成如下的矩阵形式(该方法亦
由此得名):

式中, ui 和 f j 分别表示第 i 个结点的位移和作用在第 j 个节点上的力(实际上这些量都是
矢量,其分量沿各坐标轴)。系 数 Kij 数组称为整体刚度矩阵,其 第 ij 分量的物理意义是第 j
个位移对第 i 个力的影响。该矩阵方程可简写为
式中,用下标或黑体字表示矢量和矩阵。
开始时,每个结点所受的外力或结点的位移这两者中有一个是已知的,但对一个给定
的结点,同时指定任意的位移和任意的外力是不可能的。这些预先给出的结点力和结点位移
是问题的边界条件。矩阵分析的任务就是要确定与给定的位移相对应的力、以及结点处有已
知外力作用时的位移。

单根桁架杆件的刚度矩阵

为了得出描述桁架系统的矩阵方程,第一步是需要建立单根桁架杆件每一端的力与位
2移之间的关系。考虑如图 1 所示在 x − y 平面内的杆件,该杆件连接第 i 个和第 j 个结点,
与水平线的夹角为θ 。

图 1 单根桁架杆件

沿杆件轴向及垂直于轴线的方向研究杆件待求的伸长量δ ,δ 可用杆件两端点的位移
之差来表示:

式中,u 和 v 分别为位移的水平及垂直分量(图 1 中画出的第 i 个结点的两个位移分量都是
负的)。上式可写成矩阵形式:

式中, c = cosθ 、 s = sinθ 。


图 2 结点力的分量

对线弹性体,与伸长量δ 对应的轴向力 P 可由胡克定律得出,即 P =(AE / L)δ 。水平
和垂直的结点力如图 2 所示。这些关系可写成总轴向力的形式:


进行矩阵乘法运算后得:
3方括号中的量乘以 AE / L 后,称为“单元刚度矩阵” Kij 。其每一项均有物理意义,表
示某个位移对某个力的贡献。