文档介绍：§1 隐函数一、隐函数概念二、隐函数存在性条件分析三、隐函数定理四、隐函数求导数举例下页上页返回 3 2 2 1 sin y x, z x y . ? ? ??显函数: 因变量可由自变量的某一分析式来表示的函数称为显函数. 例如: 隐函数: 自变量与因变量之间的关系是由某一个方程式所确定的函数,通常称为隐函数. 一、、连续性与可微性,不仅是出于深刻了解这类函数本身的需要,: 2) cos( 33 2???????zyxezyx zxy5 cos sin 2 1????xyxy1 22??yx 下页上页返回则成立恒等式.,0))(,(IxxfxF?? R, , I J x I ? ?若存在、使得对任一有惟一确定的 y J ?与之对应, ( , ) , x y E ?且满足 F(x,y )=0 , 则称由 F(x,y )=0 确定了一个定义在 I , ,,,)(JyIxxfy???如果把此隐函数记为隐函数一般定义: 2 R , : R, E F E ? ?设 和方程 0),(?yxF (1) 值域含于 J的隐函数. 能使下页上页返回隐函数一般不易化为显函数,也不一定需要化为显函数. 1 22??yx 可确定如下两个函数: 注2不是任一方程 F(x,y )=0 都能确定隐函数, 显然不能确定任何隐函数. 01 22???yx )(xfy?下面把隐函数仍记为这与它能否用显函数表示无关. 注3隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的取值范围. 注1例如例如由方程.]0, 1 [,]1,1 [,)1()( ;]1,0 [,]1,1 [,)1()( 22 21??????????????yxxxfy yxxxfy 下页上页返回,),(yxfz?0),,,(?uzyxF,),,(zyxfu?注4 类似地可定义多元隐函数. 例如:由方程 F(x,y,z )=0 确定的隐函数由方程确定的隐函数等等在§2 当函数 F(x,y ) 满足一些怎样条件时, 由方程 F(x,y )=0 能确定隐函数并使该隐函数具有连续、可微等良好性质? 的交线, ),( 000yxP?.)(,0),( 0000xfyyxF??,满足连续是合理的. (b) 为使在连续,故要求在点 P 0)(xfy? 0x),(yxF 二、隐函数存在性条件分析)(xfy?要讨论的问题是: (a)把上述函数看作曲面),(yxFz?故至少要求该交集非空, 0?z 即下页上页返回0),( 00?yxF y 由此可见, 是一个重要条件. 0 0 0 0 0 0 d ( , ( )) ( , ) ( , ) ( ) 0, d x x x y F x f x F x y F x y f x x ??? ? ?点存在切线,而此切线是曲面在点),(yxFz? 0P 的切平面与 的交线,故应要求在 0P),(yxF 0?z )(xfy? 0x)(xfy?(c) 为使在可导,即曲线 在 0P .)0,0 ( )),(,),(( 0000?yxFyxF yx 点 可微,且(d) 在以上条件下,通过复合求导数, 由(1) 得到 0 0 0 0 0 ( , ) ( ) ( , ) xy F x y f x . F x y ?? ??下页上页返回三、隐函数定理定理 ( 隐函数存在惟一性定理)设方程 F(x,y )=0 中),(yxF 的函数 满足以下四个条件: ),( 000yxP 2R?D (i)在以 为内点的某区域上连续; (ii) ( 初始条件);0),( 00?yxFD ),(yxF y (iii) 在内存在连续的偏导数 ; 0 0 ( , ) 0. y F x y ?(iv) 则有如下结论成立: 0 0 ( ), ( , ), y f x x x x ? ?? ???惟一地确定了一个隐函数存在某邻域,在内由方程 F(x,y )=0 DPU?)( 0)( 0PU 1 ?下页上页返回存在某邻域,在内由方程 F(x,y )=0 DPU?)( 0)( 0PU 0 0 ( ), ( , ), y f x x x x ?