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若B不可逆，则(P=AP)不可逆，即A也不可逆.
下面这个性质是一个重要的结论，.

矩阵的等价、，但等价矩阵未必为相似矩阵.
证明：设n阶方阵A,B相似，由定义3知存在n阶可逆矩阵R,使得R-1AR=B,此时若记1P=p—,Q=R，则有PAQ=B,因此由定义1得到n阶方阵A,B等价但对于矩阵A=
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等价，A与B并不相似，即等价矩阵未必相似.
但是当等价的矩阵满足一定条件时，可以是相似的，:对于n阶方阵A,B，若存在n阶可逆矩阵P,Q使PAQ=B,（A与B等价），且PQ=E（E为n阶单位矩阵），则A与B相似.
证明：设对于n阶方阵A与B,若存在n阶可逆矩阵P,Q,使PAQ=B,.
PQ=E,若记P=P，那么Q=P,也即PAR=B,则矩阵A,B也相似.
:合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵.
证明：设n阶方阵A,B合同，由定义2得，存在n阶可逆矩阵R,使得PTAP1=B,若记P=PT,Q=R,则有PAQ=B因此由定义1得到n阶方阵A,B等价但对于矩阵A=
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等价，A与B并不合同，即等价矩阵未必合同.
什么时候等价矩阵是合同的？
.
两个矩阵的正负惯性指数相同故合同
但作为实对称矩阵的特征值不同，故不相似相似矩阵未必合同
例如A与B相似，则存在可逆矩阵P使B=P\BP,如果P的逆矩阵与P的转置矩阵不相等，:正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵.
证明：若存在一个正交矩阵P,即PTP=E使得P*AP=B即A~B,同时有B=P*AP=PtAP,
所以A与B合同.
同理可知，若存在一个正交矩阵P,使得PtAP=B即A与B合同，则有__T_B=PAP=PAP=A~:如果A与B都是n阶实对称矩阵，.
证明：设A与B的特征根均为Z1，七，…虹，由于A与n阶实对称矩阵，一定存在一个n阶正交矩阵%'7-2Q使得Q」AQ=.同时，一定能找到一个正交矩阵P使得.
P-1\人2P」BP=.，从而有Q^AQ=P」BP.
<ZnJ将上式两边左乘P和右乘P」，得B=PQ~*AQP」=(QP"1)」=(QP」J^AQP"1)由于QtQ=E,PtP=E,P」P=E有(QP、T(QP」)=(P」TQtQP」=(P-*)EP-1=PP」=E，所以，QP，是正交矩阵，由定理知A与B相似.
:若n阶矩阵A与B中只要有一个正交矩阵，则AB与BA相似且合同.
证明：不妨设A是正交矩阵，则A可逆，取U=A有U"AUAAAA=A(EA野主，则AB与BA相似，又知A是正交阵，由合同矩阵的定义知AB与BA既相似又合同.
…」………(A0)」B0、………:若A与B相似且又合同，C与D相似也合同，则有与既相似又合同.
<0C),0D；证明：因为A与B,C与D相似，则存在可逆矩阵
iiPi,P2,使PiAP1=B,P2CP2=D，令
P=«，则PTP0
0P/
且P」
，A<0
0)‘BP=C)<0
°"[AD)[0
0、与仲C)<0
相似.
又因为A与B合同，C与D合同，故存在可逆矩阵
Qi,Q2,QiTAQ=B,Q2TCQ2=d,
■Qi<0
0Q2>
QT
0
0
Q2T
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CJ
0)QtA0YQi0、
0Q2T"0Q2,
Q2J
QtAQi
0
，B
<0
合同.
矩阵的等价、;<nX=0的一种解法.
f'Er0\
解设A的秩等于r,存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q使PAQ=「，于是线性方程组AX=0*0J
可化为P」记Y：=Q’X=y2，则原方程组等价于