文档介绍：授课时间第周星期第节课次 16 授课方式(请打√) 理论课□讨论课□实验课****题课□其他□课时安排 2 授课题目(教学章、节或主题): 第十六讲矩阵的相似对角化教学目的、要求(分掌握、熟悉、了解三个层次): 掌握矩阵相似的定义;了解矩阵相似的性质;了解对称矩阵的性质;: 重点:矩阵相似对角化的判断及性质;对称矩阵的对角化. 难点:矩阵相似对角化的判断;、相似矩阵 1 、定义: 对于 n 阶方阵 A 和B , 若有可逆矩阵 P 使得 B AP P??1, 则称 A 相似于 B ,记作 BA~ ,P 称为由 A 到B 的相似变换阵. (1)AA~ :A AE E??1 (2)ABBA~~?:APBP????)()( 111 (3)CACBBA~~,~? 2、性质: 性质 1:相似矩阵具有相同的特征多项式、特征值与行列式. 证:由 B AP P??1可得PEAPE AP PEB)( 11??????????|||||||| 1PEAPEB????????|||||||| 1EAPEAP?????????性质 2:若n 阶矩阵 A 与对角阵???????????? n???? 2 1相似,则 n???,,, 21?即是 A 的n 个特征值. 性质 3:A 可逆,? BA~ B 可逆,且 11~ ??BA . 性质 4: mm TTBAkB kA BABA~,~,~~?(m 为正整数). 性质 5:)(tf 为多项式,)(~)(~BfAfBA?. 例1:若A 可逆,证明同阶方阵 B ,有 BA AB ~ . 证: BA AB ABA A EBA BA~ 1????二、矩阵的(相似)对角化问题对n 阶矩阵 A ,寻求相似变换矩阵 P ,使??? AP P 1为对角阵,这就称为把矩阵 A 4:n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似(即A 能对角化)的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量. 推论: 如果 n 阶矩阵 A 的n 个特征值互不相等,则与 A 与对角阵相似. 例2:设???????????001 11 100xA ,问 x 为何值时,矩阵 A 能对角化? 解:)1()1(1 1)1(01 11 10 2??????????????????????xEA ,1 321???????对应单根 1 1???,可求得线性无关的特征向量恰有 1 个,故矩阵 A 可对角化的充分必要条件是对应重根 1 32????,有 2 个线性无关的特征向量,即方程 0)(??xEA 有2个线性无关的解,亦即系数矩阵 EA?的秩1)(??EAR . 由?????????????????????????????000 100 101101 01 101xxEA r 要1)(??EAR ,得01??x ,即1??x . 因此,当 1??x 时,矩阵 A 能对角化. 三、对称矩阵的对角化定理 5:对称阵的特征值为实数. 定理 6:设 21,??是对称阵 A 的两个特征值, 21,pp 21???,则 1p 与2p 正交. .定理 7:设A 为n 阶对称阵,则必有正交阵 P ,使???? AP P AP P T1,其中?是以 A 的n 个特征值为对角元的对角阵. 推论: 设A