文档介绍：§ 角动量加法
一、LS叠加例子
对粒子描述应同时考虑空间与内禀自由度。如自旋1/2粒子基矢属于由位置本征矢展开无穷维空间和自旋本征矢组成二维空间直积
位置空间算符与自旋空间任意算符对易。
§ 角动量加法
一、LS叠加例子
对粒子描述应同时考虑空间与内禀自由度。如自旋1/2粒子基矢属于由位置本征矢展开无穷维空间和自旋本征矢组成二维空间直积
位置空间算符与自旋空间任意算符对易。
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波函数
空间部分基矢可用|nlm>组成，对应L2和Lz本征值分别为 。自旋部分|±>对应S2和Sz本征值分别为
转动算符：
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二、SS叠加例子
两自旋1/2粒子如两电子在不考虑轨道自由度时,总自旋算符为S=S1+S2.
由
可导出
由此知相关算符本征值：
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两电子任意自旋态可用
1)S1z和S2z 或 2)S2和Sz本征矢展开：
1) |++>, |+->, |-+>, |-->;
2)
在2)中，前者为自旋三重态而后者为自旋单态。
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三、角动量叠加形式理论
考虑两不一样子空间角动量算符J1和J2，其分量满足各自角动量对易关系
作用于子空间1和2无穷小转动算符可写为
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定义总角动量为 ，简记为
有限转角形式：
上述转动算符含有通常角动量作为转动生成元形式。易证：
所以，以前所述关于 特征与行为均成立。
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四、基函数
1）无耦合表象
相互对易,取其共同本征态|j1j2;m1m2>为基
2）耦合表象
相互对易, 取其共同本征态|j1j2;jm>为基(|jm>)
因为J2与J1z(J2z)不对易，|j1j2;m1m2>不是J2本征矢，|jm>不是J1z(J2z)本征矢。 |j1j2;m1m2>和|jm>各是一组完备基,包含了最大相互对易算符组集合。
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3）表象变换
因为对给定j1,j2, m1和m2完整组合是完备，
有：
展开系数 称为Clebsch-Gordan系数
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五、CG系数基本特征
1) 由
可知只有m=m1+m2CG系数才可能不为零
2) 由矢量叠加模型可知，只有满足 CG系数才可能不为零。
3) CG系数据约定取实数，故
<j1j2;m1m2|j1j2;jm>= <j1j2;jm|j1j2;m1m2>
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4) 因为CG系数为两基组变换矩阵，组成幺正矩阵,即正交矩阵：
类似地，
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六、CG系数递推关系
因为
可知
用<j1j2;m1m2|左乘上式,得CG系数递推关系:
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上式给出了不一样CG系数间关系。除符号约定外，递推关系和归一化条件完全确定了CG系数
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由递推关系联络CG系数
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七、CG系数关系应用例子：轨道与自旋叠加
j1=l, j2=S=1/2; j=l±1/2 (l>0)或 j=1/2(l=0).
讨论j=l+1/2情形。
由递推关系:
即
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结合 得
耦合态展开：
选相位约定
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八、自旋球谐函数
定义：
该函数是L2，S2，J2和Jz本征函数
由L•S=(1/2)(J2-L2-S2),知自旋球谐函数也是L•S本征函数，本征值为：
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九、角动量叠加与转动矩阵
考虑由角动量本征值为j1本征矢为基转动算符D(j1)(R)和对应定义D(j2)(R) ，其直积是可约，在适当基矢下有以下矩阵表示:
采取群论记号，即
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十、 CG系数与转动矩阵
因为
得两转动矩阵元乘积与直积矩阵矩阵元联络：
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十一、球谐函数乘积展开
利用CG系数所联络转动矩阵及
知球谐函数乘积能够表示成球谐函数线性叠加：
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