文档介绍：微分方程及优化
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x(n’)=f(t,x,x’,x’’,…,x(n-1)’)
Step1:
x=x1
x’=x2
x’’=x3
……
x(n’)=xn+1
Step2:
x1’=x2
x2’=x3
x3’=x4
……
微分方程及优化
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x(n’)=f(t,x,x’,x’’,…,x(n-1)’)
Step1:
x=x1
x’=x2
x’’=x3
……
x(n’)=xn+1
Step2:
x1’=x2
x2’=x3
x3’=x4
……
x(n-1)’=xn
xn’=f(t,x1,x2,x3,…,xn)
Step3:
Function dy=fun(t,x)
dy=[x(2);
x(3);
x(4);
….
f(t,x(1),x(2),x(3),…,x(n)]
[t,y]=ode45(‘fun’, [t0,tf], [x(0),x’(0),x’’(0),…,x(n-1)’(0)])
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例1 （理想单摆运动）建立理想单摆运动满足微分方程，并得出理想单摆运动周期公式。
从图1中不难看出，小球所受协力为mgsinθ，依据牛顿第二定律可得：
从而得出两阶微分方程：
（1）
这是理想单摆应满足运动方程
（1）是一个两阶非线性方程，不易求解。当θ很小时，sinθ≈θ，此时，可考查（1）近似线性方程：
M
Q
P
mg
图1
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（2）
（2）解为: θ(t)= θ0cosωt
（1）近似方程
function dy=ffun(t,x)
dy=[x(2);-*x(1)];
[t y]=ode45('ffun',[0 5],[5*pi/180 0]);
plot(t,y)
legend('the','diffthe')
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function xdot = lorenzeq(t,x)
xdot=[-8/3*x(1)+x(2)*x(3);
-10*x(2)+10*x(3);
-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3)];
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clear
clc
t_final=100;
x0=[0;0;1e-10];
[t,x]=ode45('lorenzeq',[0,t_final],x0);
plot(t,x)
figure;
plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3));
axis([10 40 -20 20 -20 20]);
figure;
comet3(x(:,1),x(:,2),x(:,3));
axis([10 40 -20 20 -20 20]);
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优化部分
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单变量函数求最小值标准形式为
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