常微分方程数值解法.pdf

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本章讨论常微分方程初值问题数值解法，主要是差分法。解微分方程的所谓差分法的要点如
下：首先是区域的离散，即将连续的求解区域离散化成有限个网格点。其次是方程的离散，
例如用差商代替微商，或者对微分方程 (t,u(t))dt （）
n1 n t
n
用各种数值积分公式计算（）中的积分，便导致各种不同的差分法。例如，若用左矩形公
式就得到 Euler 法（）。如果用右矩形公式，便得到下面的：
隐式Euler方法：u  u  h f (t ,u ), n  0,1, , N 1 （）
n1 n n1 n1
类似地，如果用梯形公式，就得到
h
改进的Euler方法 u  u  [ f (t ,u )  f (t ,u )], n  0,1, , N 1 ()
n1 n 2 n1 n1 n1 n1
当 f (t,u) 关于 u 是非线性函数的时候，不能由（）和()从 u 直接算出 u ，称这一类
n n1
方法为隐式，通常采用某种迭代法求解。例如，将一般的隐式方法写成
u  F(t ,u ,u ) ()
n1 n n n1
则可以利用如下的迭代法由u 算出u ：
n n1
uk1  F(t ,u ,uk ), k  0,1,
 n1 n n n1 ()
u0  u
 n1 n
关于 k 的迭代通常只需进行很少几步就可以满足精度要求了。
为了避免对隐式方法进行迭代的麻烦，比如说对于改进的 Euler 方法（i .7 ），可以采用
某种预估法近似算出 f (t ,u ) ，然后再用（i .7）作校正，这就导致所谓预估校正法。下
n1 n1
面给出一个例子：
  u   f (t , u )
  n n n
 预估：  u  u  2hu 
  n 1 n 1 n
 u   f (t , u ) （）
 n 1 n 1 n 1
h
校正：