文档介绍：§1 矩阵的满秩分解
定理：设，那么存在
第四章矩阵的分解

这章我们主要讨论矩阵的五种分解：矩阵的满秩分解，正交三角分解，奇异值分解，极分解，谱分解。
R(A)=r
使得
C行这样，原来的向量组用标准正交向量去表示
将上面的式子矩阵化，即为
（2）首先判断出，由定理可知必存在，以及三阶正线上三角矩阵使得
再将其单位化，得到一组标准正交向量组
另：
推论：设，则可分解为
其中，是阶正线上三角矩阵，是阶正线下三角矩阵。
§3 矩阵的奇异值分解
引理 1 ：对于任何一个矩阵都有
§3 矩阵的奇异值分解
引理 1 ：对于任何一个矩阵都有
设，是的特征值，
引理 2 ：对于任何一个矩阵都有与
都是半正定的Hermite-矩阵。
是的特征值，它们都是实数。如果记
特征值与之间有如下关系。
例：求下列矩阵的奇异值
为矩阵的正奇异值，简称奇异值。
同时，我们称
定理：设，那么
例：求下列矩阵的奇异值
显然的特征值为5，0，0，所以的奇异值为
解：（1）由于
（2）由于
显然的特征值为 2，4，所以的奇异值为。
例 2 证明：正规矩阵的奇异值为其非零
特征值的模长。
证明：
例 2 证明：正规矩阵的奇异值为其非零
特征值的模长。
奇异值
定理：设，
是的个奇异值，那么存在阶酉矩阵和阶酉矩阵使得
证明：由于，所以的特征值为
其中，
且满足。
因为是一个H-阵，所以存在阶酉矩阵且满足
将酉矩阵按列进行分块，记
从而有
于是有
，其中
记，这里
选取使得是酉矩阵，则
令，那么容易验证
由上述式子可得
我们称此定理为奇异值分解定理。称表达式
为矩阵的奇异值分解式。
这里，要注意。
如何求此分解表达式？特别要注意下面的
关系式
即
由此可知的列向量就是的标准正交特征向量；而的列向量就是的标准正交特征向量。
例：求下列矩阵的奇异值分解表达式
例：求下列矩阵的奇异值分解表达式
解：（1）容易计算的特征值为5，0，0，所以的奇异值为。下面计算
的标准正交特征向量，解得分别与5，0，0对应的三个标准正交特征向量
由这三个标准正交特征向量组成矩阵，所以有
再计算的标准正交特征向量，解得分别与5，0对应的两个标准正交特征向量
由这两个标准正交特征向量组成矩阵
那么有
于是可得奇异值分解式为
解：（2）容易计算
，那么的非零奇异值为，对应于特征值5，2的标准特征向量为
由这两个标准正交特征向量组成矩阵
那么有
再计算的标准正交特征向量，解得分别与5，2，0，0对应的两个标准正交特征向量
由这四个标准正交特征向量组成矩阵，所以有
于是可得奇异值分解式为
练****求下面矩阵的奇异值分解式
推论：设