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第十一章解题方法归纳
一、曲线积分与曲面积分的计算方法
利用性质计算曲线积分和曲面积分.
直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分
利用积分与路径无关计算xy
JJf(x,y,z)dS=JJf[x,y,z(x,y)]JI+z'2(x,y)+z'2(x,y)dxdy
xy
XD
xy
其中D为曲面X在xOy面上的投影域.
xy
若曲面X:x二x(y,z)((y,z)eD)，贝U
yz
JJf(x,y,z)dS=JJfL(y,z),y,z1i+x'2(y,z)+x'2(y,z)dydz
yz
XD
yz
其中D为曲面X在yOz面上的投影域.
yz
若曲面X:y二y(x,z)((x,z)eD)，贝U
zx
JJf(x,y,z)dS=JJf[x,y(x,z),+y'2(y,z)+y'2(y,z)dzdx
zx
XDzx
其中D为曲面X在zOx面上的投影域.
zx
若有向曲面X:z=z(x,y)，贝V
JJR(x,y,z)dxdy=±JJR[x,y,z(x,y)]dxdy(上“+"下“-")
XD
xy
其中D为X在xOy面上的投影区域.
xy
若有向曲面X:x=x(y,z)，贝V
JJP(x,y,z)dydz=±JJP[x(y,z),y,z]dydz(前“+”后“-”)
XD
yz
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其中D为X在yOz面上的投影区域.
yz
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若有向曲面S:y=y(x,z)，则
J!Q(x,y,z)dzdx=±JJQ[x,y(x,z),z]dzdx(右“+"左“-")
sDzx
其中D为S在zOx面上的投影区域.
zx
JPdx+Qdy与路径无关oNJPdx+Qdy=0(c为D内任一闭曲线)
L
odu(x,y)=Pdx+Qdy(存在u(x,y))
dPdQ
o=
dydx
其中D是单连通区域,
P(x,y),Q(x,y)在D内有一阶连续偏导数.
NP(x,y)dx+Q(x,y)dy=—孑dxdy
格林公式
D金內丿
其中L为有界闭区域D的边界曲线的正向，P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续
偏导数.
高斯公式
0P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=BJ[空+連+竺dv(Qxdydz丿
dv
SO
其中s为空间有界闭区域O的边界曲面的外侧，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在
0(Pcosa+QcosP+Rcosy)dS=ffffQP+QQ+QRIQxQyQz丿
O上具有一阶连续偏导数，cosa,cos卩,cosy为曲面S在点(x,y,z)处的法向量的
方向余弦.
斯托克斯公式
dzdxdxdy
QQ
QyQz
QR
dydz
]jPx+Qdy+Rdz=JJ—
Qx
rs
P
其中r为曲面s的边界曲线，且r的方向与s的侧(法向量的指向)符合右手螺旋法则，p,q,r在包含s在内的空间区域内有一阶连续偏导数.
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1）计算曲线积分的步骤：
1）计算曲线积分的步骤：
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1）判定所求曲线积分的类型（对弧长的曲线积分或对坐标的曲线积分）；
2）对弧长的曲线积分，一般将其化为定积分直接计算；对坐标的曲线积分：
判断积分是否与路径无关，若积分与路径无关，重新选取特殊路径积分；
判断是否满足或添加辅助线后满足格林公式的条件，若满足条件，利用格林公式计算（添加的辅助线要减掉）；
将其化为定积分直接计算.
对空间曲线上的曲线积分，判断是否满足斯托克斯公式的条件，若满足条件，利用斯托克斯公式计算；若不满足，将其化为定积分直接计算.
（2）计算曲面积分的步骤：
1）判定所求曲线积分的类型（对面积的曲面积分或对坐标的曲面积分）；
2）对面积的曲面积分，一般将其化为二重积分直接计算；对坐标的曲面积分：
①判断是否满足或添加辅助面后满足高斯公式的条件，若满足条件，利用高斯公式计算（添加的辅助面要减掉）；
②将其投影到相应的坐标面上，化为二重积分直接计算.
例1计算曲线积分IJ
l|X+|y
dx+dy，其中L为|x|+|y|=1取逆时针方向.
IJdx+dyJdx+dyJ
L
dx+Jdy
|+|+x2"厶1+x2"厶1+x2L1+x2
对x、y均为偶
1+X2
由于积分曲线L关于x轴、y轴均对称，被积函数P=Q=1
函数，因此
J仝=0,=0