文档介绍：立体几何求角
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立体几何求角
一．解答题（共8小题）
1．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=a，E是棱PC的中点．
（1）求证：PC⊥BD；
（2）求直线BE与PA所成⊥BC，BC⊂平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，BC∩BB1=B，
∴AF⊥平面BCC1B1，∴DE⊥平面BCC1B1，
∵AC=5，BC=6，∴CF==3，∴AF==4，∴DE=AF=4
∵BC=BB1=6，∴S△BCE==9．
∴三棱锥E﹣BCD的体积V=S△BCE•DE==12．
4．如图：ABCD是平行四边形，AP⊥平面ABCD，BE∥AP，AB=AP=2，BE=BC=1，∠CBA=60°
（1）求证：EC∥平面PAD；
（2）求证：平面PAC⊥平面EBC；
（3）求直线PC与平面PABE所成角的正弦值．
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【解答】（1）证明：因为BE∥PA，
BE⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，
所以BE∥平面PAD，同理BC∥平面PAD，
所以平面PAD∥平面EBC，
因为EC⊂平面EBC，所以EC∥平面PAD…（4分）
（2）证明：因为AB=2，BC=1，∠CBA=60°，
由余弦定理得，AC=，
所以由勾股定理逆定理∠BCA=90°，
所以AC⊥BC，又因为BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC，
则有AC⊥平面EBC，AC⊂平面PAC
所以平面BEC⊥平面PAC．…（8分）
（3）解：作CH⊥AB于H，连结PH，
又因为CH⊥PA，所以CH⊥平面PABE，
所以∠HPC即为线面角，
∴．…（13分）
5．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA
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⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA=AD=1，AB=2．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：平面PMC⊥平面PCD；
（3）求点D到平面PMC的距离．
【解答】（1）证明：设PD的中点为E，连接AE、NE，
由N为PC的中点知EN平行且等于DC，
又ABCD是矩形，∴DC平行且等于AB，∴EN平行且等于AB
又M是AB的中点，∴EN平行且等于AM，
∴AMNE是平行四边形
∴MN∥AE，而AE⊂平面PAD，NM⊄平面PAD
∴MN∥平面PAD
（2）证明：∵PA=AD，∴AE⊥PD，
又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥AE，∵PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD，
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∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD，
又MN⊂平面PMC，
∴平面PMC⊥平面PCD．
（3）解：设点D到平面PMC的距离为h，则，
∴点D到平面PMC的距离h=．
6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．
（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；
（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）如图，由已知AD∥BC，
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故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．
因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．
在Rt△PDA中，由已知，得，
故．
所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为．
证明：（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，
所以AD⊥PD．
又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，
又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．
解：（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，
则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．
因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，
所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．
由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=1，
由已知，得CF=BC﹣BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，
在Rt△DCF中，可得．
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所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．
7．如图，已知三棱锥P﹣ABC，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，∠BAC=60°，PA=AC，M为PB的中点．
（Ⅰ）求证：PC⊥BC．
（Ⅱ）求二面角M﹣AC﹣B的大小．
【解答】解：（Ⅰ）证明：由PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
又因为∠ACB=90°，即BC⊥AC．
∴BC⊥面PAC，∴PC