文档介绍：第九讲矩阵微分方程
、矩阵的微分和积分
.矩阵导数定义：若矩阵A(t)=((t))m刈的每一个元素ajt)是变量t的可
微函数，则称A(t)可微，其导数定义为
dAdaij
K=A(t)=(j)mn
dtdt
由此出发，第九讲矩阵微分方程
、矩阵的微分和积分
.矩阵导数定义：若矩阵A(t)=((t))m刈的每一个元素ajt)是变量t的可
微函数，则称A(t)可微，其导数定义为
dAdaij
K=A(t)=(j)mn
dtdt
由此出发，函数可以定义高阶导数，类似地，又可以定义偏导数。
.矩阵导数性质：若A(t),B(t)是两个可进行相应运算的可微矩阵，则
八d
⑴dt[A(t)±B彻
dAdB
—±—
dtdt
dBdt
dA
dt
(3)
dt[a(t)A(t)]
da、dA
dtAtAtA
(4)——e=Ae=eAdt
costA=AsintAdt
sintA=AcostA
dt
(A与t无关)
此处仅对—(etA)=AetA=etAA加以证明
dt
证明：
dtAd1221332123
(e)(1tAt2A2tAa—dtdt
A3)=AtA2t2A3
dtdt2!3!2!
=A(1tA—t2A2)=AetA
2!
1
又=(1tAt2A2)A=eA
2!
.矩阵积分定义：若矩阵A(t)=(aj(t))mMn的每个元素aj(t)都是区间
［储力］上的可积函数，则称A(t)在区间［to,ti］上可积，并定义A(t)在［to,ti］
上的积分为
tifti)
』A(t)dt=Jaj(t)dt
to\to『m^n
.矩阵积分性质tititi
f[A(t)土B(t)]dt=fA(t)dt±fB(t)dttototo
titititi
f[A(t)B]dt=AA(t)dtB,[[AB(t)]dt=A[B(t)dt
to[to/to[to
dtb
(3)一』A(t)dt'=A(t),JAr(t)dt=A(b)A(a)
dtaa
一阶线性齐次常系数常微分方程组
设有一阶线性齐次常系数常微分方程组
dxi
dt
dx2
=aiixi(t)ai2X2(t)ainXn(t)
dt
=a2iXi(t)a22X2(t)a2nXn(t)
dXc
Ti"2⑴3)
式中t是自变量，Xi=Xi(t)是t的一元函数(i=i,2，…，n),
aj(i,j=i,2，…，n)是常系数。
x(t)=[xi(t),x2(t),,xn(t)]T,A=
a11
和…
a1n
Ia21
a22
■■.
a2n
-
*
a
■
-
■
■
■
■
■
_an1
an2
-■.
ann_
则原方程组变成如下矩阵方程
崇二Ax(t)
其解为
x(t)=e
tAtA
x(0)=ec
更一般的
(J0t
x(t)e0
对该解求导，可以验证
dx(t)=AetAc=Ax(t)且t=0时，x(t)=e0Acdt
=Ic=c=x(0)
表明x(t)确为方程的解，积分常数亦正确
dx1
x2