文档介绍：第7讲立体几何中的向量方法
基础知识整合
知识梳理
.宜线的方向向M和平面的法向M
宜线的方向向M
宜线I上的向M e或与eg fl共线的向M叫做宜线I的方向向显然一条宜
线的方向向M有口 无数个
⑵平面的法向M
如果表示向知点P(- 1,3,2),则点P到平面OAB的距离d等于()
A . 4B. 2
C. 3D. 1
答案B
解析 由已知平面OAB的一条斜线的方向向MOP= ( — 1, 3,2),所以点P至U
平面 OAB 的距离 d= |OP| |cos 〈OP, n> | = |OP-^| = -2-6 + 2|= B.
|n| 日勺一2 2+ 1
在长方体 ABCD — A1B1C1D1 中，AB= 2,BC = AA 1= 1,则
DiCi与平面AiBCi所成角的正弦值为
解析 如图，建立空间宜角坐标系Dxyz ,则Di(0,0,1), C i(0,2,1), A i(1,0,1),
B(1,2,0),
?D7Ci = (0,2,0),
设平面AiBCi的一个法向M为 n = (x, y, z),
n AC = (x, y, z )(— 1,2, 0 尸一x+ 2y= 0, n A1B= x, y, z ? 0, 2, — 1 = 2y — z=
0, x= 2y,
得令 y= 1,得 n = (2,1,2),
z= 2y,
2 _ 1
2X 3_3.
1
设D1C1与平面A1BC1所成角为b,则
ID1C1 n I
sin 0= |cos〈 D1C1, n > |= |D1C1|
即宜线D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为3.
核心考向突破
考向一利用空间向M证明平行、垂宜
例1 （2019南京模拟）如图，在四棱锥 P — ABCD中，PC，平面ABCD , PC _2,在 四边形 ABCD 中，/ ABC _Z BCD_90 ° AB_4, CD_ 1,点 M 在 PB 上，PB_ 4PM , PB 与平面 ABCD所成的角为
30 ° .求证：
(1)CM // 平面 PAD;
⑵平面PAB，平面PAD.
证明以点C为坐标原点，分别以CB, CD, CP所在的宜线为x轴、y轴、
??PC,平面ABCD,a启BC为PB与平面ABCD所成的角.
???PBC = 30 °
??PC = 2,「BC = 2 3, PB= 4.
?D(0,1,0) , B(2 3, 0,0), A(2 3, 4,0), P(0,0,2),
M -A, 0, 2 ,
?DP 二(0, - 1,2), DA= (2 3, 3,0), CM 二宇,0, | .
⑴设n
(x, y, z)为平面PAD的一个法向M
DP n = 0,— y+ 2z= 0,
由即
.DA n = 0,2,3x+ 3y= 0.
令 y= 2,得 n = ( — 3, 2,1).
'll CM — —: ■ 3 X ■+ 2 X 0 + 1 X2 — 0,. ° n_1CM.
又 CM?平面 PAD,.QM // 平面 RAD.
(2)如图，取AP的中点E,连接BE,
则 EC. 3, 2,1), BE — (— 3, 2,1).
??PB YB,/BEdPA.
又 BE DA — (— 3, 2,1) (2 3, 3,0) — 0, .?BejDa,/bejda.
又 PAG DA — A,「BE，平面 FAD.
又BE?平面PAB,
???平丽AB，平面PAD.
触类旁通
证明平行、垂宜问题的思路
(1)恰当建立空间宜角坐标系，准确表示各点与相关向M的坐标，是运用向M
法证明平行和垂宜的关键
(2)证明宜线与平面平行，只需证明宜线的方向向M与平面的法向M的数M积为零，或
证宜线的方向向M与平面内的不共线的两个向M共面，或证宜线的方向向M与平面内莫宜线
的方向向量平行，然后说明宜线在平面外即可
?滕帧©0题转化为向M运算
3其一证明宜线与宜线垂宜，只需要证明两条宜线的方向向M垂宜；其二证明线面垂
宜，只需证明宜线的方向向M与平面内不共线的两个向M垂宜即可，当 然，也可证宜线的方 向向M与平面的法向M平行；其三证明面面垂宜：①证明两 平面的法向M互相垂宜；②利用 面面垂宜的判定定理，只要能证明一个平面内的 一条宜线的方向向M为另一个平面的法向M 即可.
即时训练1.(2019广东深圳模拟)如图所示，在宜三棱柱 ABC — AiBiCi中，侧面
AAiCiC和侧面AAiBiB都是正方形且互相垂宜，M为AAi的中点，N为BCi的中点