文档介绍：学案8：直线与椭圆的位置关系
班级 姓名
椭圆定义：(用式子表达)
椭圆的标准方程及几何性质
a, b, c关系
图形
a
一 C c^/A2 *
B.
y Q. B\b
A,
标准方程
X, y范学案8：直线与椭圆的位置关系
班级 姓名
椭圆定义：(用式子表达)
椭圆的标准方程及几何性质
a, b, c关系
图形
a
一 C c^/A2 *
B.
y Q. B\b
A,
标准方程
X, y范围
焦点
Fi , F2 ,
Fi , F2 ,
顶点
Ai , A2 ,
Ai , A2 ，
B1 , B2
Bi , B2
对称性
对称轴： ，对称中心：
长短轴
长轴长 , 短轴长 ，焦距为
离心率
e= , 离心率范围：
离心率e越接近于 ,椭圆越扁；离心率e越接近于 ,椭圆越圆。
通径
过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为
:
直线斜率存在时］>：奴 + " n (m + k2n)x2 + 2kbnx + b2-l = 0
［mx2 + ny2 = 1
当△〉()时0相交；当△ = ()时0相切；当△<()时0相离
注：1°无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看
2°直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。
4,直线和椭圆相交时.
韦达定理：如果五,心是一元二次方程+bx + c = 0(«丰0)的两根，
贝ij + x2 - , • x2 = , (Xj -x2)2 =
弦长问题：L4BI=V(l+k2)［(xi+x2)2—4心地］或 \AB\= V(l+H©i+y2)2一钮乃］
注：幅****仙+&)2一4«内而为+&和X/2用韦达定理，不必求也，了2的值，“设而不求"思想。
三角形面积：运用“设而不求”思想。
2 2
1°过X轴上一定点H的直线/与椭圆二+云=1交于A、3两点，则SMOB=^\OH\-\y}-yi\
2°过y轴上一定点H的直线/与椭圆二+朱=i交于A、3两点，则sMOB =^\OH\-\xt-x,\
3°弦任意，点任意，则sa=1弦长X点线距。
弦的中点问题：1°求中点弦所在直线方程；2°求平行弦中点轨迹；3°求共点弦中点轨迹。
题型一：椭圆切线方程问题
2
例1：已知椭圆方程为三+vJl，一条斜率为-1的直线/与椭圆相切，求/的方程。
2 -
变式1：求椭圆亍+ /=1上的点到/ : y = —x + 8的距离的范围。
题型二：弦长问题（设而不求思想解决问题）
例2、已知斜率为1的直线/经过椭圆丈+帖=1的右焦点F2,交椭圆于A、B两点, 2
⑴求弦AB的长. ⑵求Z\ABFi的面积。
变式2：直线v = kx +42与椭圆—+v2 = 1交于不同两点A和B,且OAOB = 1,求上的值.
- 3 '
题型三：点差法解决弦的中点问题
例3：椭圆§ + y2=l内有一条以点为中点的弦AB ,求A3所在的直线/的方程。
v2
变式3：已知椭圆方程为工+),2=1， (1)求斜率为-1平行弦中点轨迹方程。
2
(2)过定点(0,2)引椭圆的割线，求所得弦的中点