极限运算法则两个重要极限.docx

文档介绍：复****旧课：、无穷大量、无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系
导言：前面我们介绍了极限的定义，为了方便计算下面我们介绍极限的运算法则和两个重要的极限
2. 3极限的运算法则
2. 3. 1极限的性质
定理1：(唯一性) 0”型时，用因式分解找出“零因子”。
f (x)0
曳,当 m n,b0 0, mm 1b0
5)结论：limnn 10,当 m n,
xb°xb〔xbn4
，当 m n.
”型，用无穷小
量分出法，即分子、分 母同时除以x的最高次
嘉。
先通分，再计算。
6)若(x)0, f (x)有界，则 lim (x)f(x) 0
7)若lim[ f (x) g(x)]为“"型时，一般是通分或有理化后再处
理。
2. 4两个重要极限
2. 4. 1判别极限存在的两个准则
准则1 (夹逼定理)设函数f (x), g (x), h( x)在x0的某一邻域U (x0,)内满足
g(x) f (x) h(x)
且有极限 lim g(x) lim h(x) A,则有 lim f (x) A x xox xox x0
准则2如果数列xn单调有界，则lim xn 一定存在。 x
2. 4 . 2两个重要极限
一sinx )
.极限lim1
x 0 x
,、
例8计算lim
x 0 x
.tanxsin x 1sin x1
解 lim= lim - = lim lim=1
x 0 x x 0 x cosx x 0 x x 0 cosx
小1 cosx
例9计算lim；—
x 0 x2
2
Oc、2 x. x
d2sin —d sin —
.1 cosx212
解 lim2— lim2^2 — lim 2
x 0x2x 0x2x 0 2x
2
2
.一 x
.sin 一.
1 .._21
=lim
2x0x2
2
2
例 10 计算 lim sin5x
x 0 3x
一般
..sinU .
lim 1
U 0 U
证明略
例8、例9结果可作 为公式使用。
2 x
cosx 1 2sin —
2
2cos2- 1 2
可证得此结论。
sin5x
sin5x 5
5
解lim
=lim
x 0
3x
x 0 5x 3
3
sin f (x),
结论：
lim
-1
f(x) 0
f(x)
sin3x sin x
例11计算lim
x 0v
sin3x sinx lim
x 0v
2cos2x sinx lim
x 0v
2limcos2x lim x 0x 0
sin x
x
例 12 求 lim sn x x 0 tanx
解 lim sin x 二 x 0 tan x
sin x
=lim (
x 0 x
x
sin x )limn(
x 0 x
1)1 tan x
x
tan x
例13求lim
sin x
x
tanx
sin x
lim (
sinx
x 、
解错误做法：
lim=
1
)
x tanx
x