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几何证明中的几种技巧
一．角平分线－－轴对称
１．已知在 ABC中，Ｅ为ＢＣ的中点，ＡＤ平分 BAC ， BD AD 于：ＢＭ＝ＣＮ．
２
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A A
M
C
M
C
B
E
E
N
B
N
D
D
分析：连接ＤＢ与ＤＣ．∵ＤＥ垂直平分ＢＣ，∴ＤＢ＝ＤＣ．易证
AMD≌ AND．
∴有ＤＭ＝ＤＮ．∴
BMD≌
CND（ＨＬ）．∴ＢＭ＝ＣＮ．
７．如图，在 ABC中， B 2 C ，ＡＤ平分 BAC ．求证：ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＤ．
A A
E
B D C B D C
分析：在ＡＣ上截取ＡＥ＝ＡＢ，连接ＤＥ．则有 ABD≌ AED．∴ＢＤ＝ＤＥ．
∴ B AED C EDC．又∵ B 2 C，∴ C EDC．
∴ＤＥ＝ＣＥ．∴ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＤ．
AE 1 (AB AD)
８．在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ平分 BAD ，过Ｃ作ＣＥ⊥ＡＢ于Ｅ，且 2 ．求
ABC ADC 的度数．
D D
C C
E B E B F
A A
分析：延长ＡＢ到Ｆ，使得ＢＦ＝ＡＤ．则有ＣＥ垂直平分ＡＦ，∴ＡＣ＝ＦＣ．
∴
F
CAE
DAC ．∴有 CBF≌ CDA（ＳＡＳ）．∴ CBFD ．
∴
ABC
ADC
180 ．
二．旋转
１．如图，已知在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ在ＢＣ上，Ｆ在ＤＣ上，ＢＥ＋ＤＦ＝ＥＦ．
求证： EAF 45 ．
３
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A D A D
F F
B E
C
G
B EC
分析：将
ADF绕Ａ顺时针旋转
90 得 ABG ．∴ GABFAD ．易证 AGE≌Δ AFE．
FAE
GAE
1
45
FAG
∴
2
２如图，在
ABC 中，
ACB 90 ，ＡＢ＝ＢＣ，Ｄ为ＡＣ中点．ＡＢ的延长线上任意一点Ｅ．ＦＤ
⊥ＥＤ交ＢＣ延长线于Ｆ．求证：ＤＥ＝ＤＦ．
A
A
D
D
F
F
B
C
B
C
E
E
分析：连接ＢＤ．则
BDE 可视为
CDF 绕Ｄ顺时针旋转 90
所得．易证ＢＤ⊥ＤＣ与
ＢＤ＝ＣＤ．则
BDE
CDF ．又易证 DBEDCF
135 ．∴ BDE≌ CDF．∴ＤＥ＝ＤＦ．
３．如图，点Ｅ在
ABC外部，Ｄ在边ＢＣ上，ＤＥ交ＡＣ于Ｆ．若
123，
ＡＣ＝ＡＥ．求证：
ABC≌ ADE．
E
A
3
1
B 2 D
C
分析：若 ABC≌ ADE，则 ADE可视为 ABC绕Ａ逆时针旋转 1所得．则有 B ADE ．
∵ B 1 ADE 2，且 1 2．∴ B ADE ．又∵ 1 3．
∴ BAC DAE ．再∵ＡＣ＝ＡＥ．∴ ABC≌ ADE．
４
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４．如图， ABC与 EDC均为等腰直角三角形，且Ｃ在ＡＤ上．ＡＥ的延长线交ＢＤ于Ｆ．请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程．
A
C E
B
F
D
分析：将 Rt BCD视为 Rt ACE绕Ｃ顺时针旋转 90 即可．
５．如图，点Ｅ为正方形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上一点，点Ｆ为ＣＢ的延长线上的一点，且ＥＡ⊥ＡＦ．求证：ＤＥ＝ＢＦ．
A
D
E
F
C