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矩阵分析Chapter TwoSection3
例 2 求矩阵
的 3的Jordan块只有一个且它为二阶的。故 的标准形为
或
练****用矩阵秩的方法求出矩阵
的Jordan标准形。
例 3 用矩阵秩的方法求出矩阵
的Jordan标准形。
解：首先求出其特征值，显然其特征多项式为
所以 为 的4重根，从而 在 的 Jordan 标准形 的主对角线上出现四次，下面计算 中主对角元为1 的Jordan块的数目，先计算 ， 容易得到
那么中主对角元为 的Jordan块数是
由此立即可得其Jordan标准形为
如何求相似变换矩阵？
设 阶方阵 的Jordan标准形为 ,则存在可逆矩阵 使得
，称 为相似变换矩阵。对于相似变换矩阵的一般理论我们不作过多的讨论，只通过具体的例题说明求 的方法。
例 1 求方阵
的Jordan标准形及其相似变换矩阵 。
解： 首先用初等变换法求其Jordan标准形：
故 的初等因子为
从而 的Jordan标准形为
再求相似变换矩阵：
设所求矩阵为 ，则 ，对于 按列分块记为
于是有
从而可得
整理以后可得三个线性方程组
前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个基础解系：
可以取 ，但是不能简单地取
，这是因为如果 选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。由于
的任意线性组合都是前两个方程组的解，所以应该取
使得第三个非齐次方程有解，即其系数矩阵与增广矩阵有相同地秩，容易计算出其系数矩阵的秩为1，从而应该使得增广矩阵
的秩也为1。即
容易看出只需令 就会使得上述矩阵的秩为1，于是
再由第三个方程解出一个特解为
，那么所求相似变换矩阵为
练****求方阵
的Jordan标准形及其相似变换矩阵 。
解： 首先用初等变换法求其Jordan标准形：
故 的初等因子为
从而 的Jordan标准形为
再求相似变换矩阵：
设所求矩阵为 ，则 ，对于 按列分块记为
于是有
从而可得
整理以后可得三个线性方程组
前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个基础解系：
可以取 ，但是不能简单地取
，这是因为如果 选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。由于
的任意线性组合都是前两个方程组的解，所以应该取
使得第三个非齐次方程有解，即其系数矩阵与增广矩阵有相同地秩，容易计算出其系数矩阵的秩为1，从而应该使得增广矩阵
的秩也为1。即
容易看只要 就会使得上述增广矩阵的秩为1。令 ，于是
再由第三个方程解出一个特解为
，那么所求相似变换矩阵为
从而有
一般地，设 ，则存在 阶可逆矩阵 使得
其中 为Jordan块，记
这里
那么有
记 ，又可得
注意： 是矩阵 的对应于特征值 的特征向量，特征向量 的选取应该保证向量 可以求出，同样向量 的选取应该保证向量 可以求出，依此类推，并且使得
线性无关。
Jordan标准形的某些应用
例 1 对于方阵
求 。
解：首先用初等变换法求其Jordan标准形：
故 的初等因子为
从而 的Jordan标准形为
再求相似变换矩