文档介绍：数分高代定理大全
数分高代定理大全
《高等代数》
第一章
带余除法 对于中任意两个多项式与，其中，一定有中的多项式存在，使成立，其中或者，并且这样的是唯一决定的.
定理 1 对于数域上的任意两个多项式，其中的充分惯性指数与秩相等，
（3）有可逆实矩阵，使
其中，
（4）有实矩阵使，
（5）的所有主子式皆大于或等于零.
第六章
定理 1 如果在线性空间中有个线性无关的向量，且中任一向量都可以用它们线性表出，那么是维的，而就是的一组基.
定理 2 如果线性空间的非空子集合对于的两种运算是封闭的，那么就是一个子空间.
定理 3 1））的维数等于向量组的秩.
定理 4 设是数域上维线性空间的一个维子空间，是的一组基，，在中必定可以找
到个向量，使得是的一组基.
定理 5 如果是线性空间的两个子空间，那么它们的交也是的子空间.
定理 6 如果是的子空间，那么它们的和也是的子空间.
定理 7 （维数公式）如果是线性空间的两个子空间，那么
维（）+维（）=维（）+维（）.
定理 8 和是直和的充分必要条件是等式
只有在全为零向量时才成立.
定理 9 设是的子空间，令，则的充分必要条件为
维（）=维（）+维（）.
定理 10 设是线性空间的一个子空间，那么一定存在一个子空间使
.
定理 11 是的一些子空间，下面这些条件是等价的：
1）是直和；
2）零向量的表法唯一；
3） ；
4）维（）=.
定理 12 数域上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数.
第七章
定理 1 设是线性空间的一组基，
唯一的线性变换使.
定理 2 设是数域上维线性空间的一组基，在这组基下，：
线性变换的和对应于矩阵的和；
线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；
线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；
可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.
定理 3 设线性变换在基下的矩阵是，向量在基下的坐标是，则在基下的坐标可以按公式
计算.
定理 4 设线性空间中线性变换在两组基
（6）
（7）
下的矩阵分别为和，从基（6）到基（7）的过渡矩阵是，于是.
定理 5 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.
定理 6 相似的矩阵有相同的特征多项式.
哈密尔顿—凯莱（Hamilton-Caylay）定理 设是数域上一个矩阵，是的特征多项式，则
.
定理 7 设是维线性空间的一个线性变换，的矩阵可以在某一组基下为
对角矩阵的充分必要条件是，有个线性无关的特征向量.
定理 8 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
定理 9 如果是线性变换的不同的特征值，而是属于特征值的线性无关的特征向量，，那么向量组也线性无关.
定理 10设是维线性空间的线性变换，是的一组基，在这组基下的矩阵是，则
1）的值域是由基像组生成的子空间，即
.
2）的秩的秩.
定理 11 设是维线性空间的线性变换，
的秩的零度.
定理 12 设线性变换的特征多项式为，它可分解成一次因式的乘积
.
则可分解成不变子空间的直和
，
其中.
定理 13 设是复数域上线性空间的一个线性变换，则在中必定存在一组基，使在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵.
定理 14 每个级复矩阵都与一个若尔当形矩阵相似.
定理 15 数域上级矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件为的最小多项式是上互素的一次因式的乘积.
第八章
定理 1 一个的-矩阵是可逆的充分必要条件为行列式是一个非零的数.
定理 2 任意一个非零的的-矩阵都等价于下列形式的矩阵
其中是首相系数为1的多项式，且
.
定理 3 等价的-矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子.
定理 4 -矩阵的标准形是唯一的.
定理 5 两个-矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.
定理 6 矩阵是可逆的充分必要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积.
定理