文档介绍：、对称性
一、基本知识简述
函数的周期性
对于函数丁 = /(%),如果存在一个常数THO,能使得当x取定义域内的一切值时，都 有/(.X + T) = /(x),则函数y = /(x)叫做以T为周期的周期函数.
y = /(ax)(a > 0)可以看作y = /(x)的图象沿x轴方向向y轴压缩(a〉1)或 伸长(a<l)
到原来的+倍所得.
y = bf (x)(b > 0)可以看作y = /(x)的图象沿y轴方向向x轴仲长(b〉1)或 压缩(方<1)到原来的方倍所得..
二、例题
求函数的周期
例 1 已知偶函数/(%)满足 /(3 + x) = /(3 -x),当 x w (0,3)时，/(x) = x2 ,当 x w (9,12)
时,/(%) =
由上题知6为/(x)的一个周期，
双对称函数 周期函数
定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x = a,x = b都成轴对称(a工0 ),判断/(%) 的周期性
定义在R上的函数f(x)的图象关于点(a,c),(b,c)都成中心对称(a工b ),判断f(x) 的周期性
定义在R上的函数/(x)的图象关于直线» = a都成轴对称，又关于点@,c)都成中心 对称(a^b),判断/(x)的周期性
[(1) (2) 2”-0, (3) 4”-0]
例2函数/(x)对定义域内任意x总有关系[/(x + 〃)+ l][/(x) + l] = 2,那么下列结论中 正确的是( )
(A) /(x)不一定是周期函数 (B) /(x)是周期为”周期函数
(C) /(x)是周期为2”周期函数 (D) /(x)是周期为周期函数
求周期函数的表达式
例3对任意实数x,函数/(x)满足等式：/(x) = -/(x + l),当xe(-l,0]时，
/(.X)= %2 + 2x ,则当 x e [8,10]时，/(%) =
例4已知y = /(x)[0,1]上/(x) = 2 + 4x-2x2,则
对任意n w N ,在区间[2/7,2/7 + 2] ± /(.X)的表达式为
求对称函数的表达式
例5若函数j = /(%)的图象关于直线x = 2对称，当x<2时，/(x) = l-x2,则当x>2
时，贝U /(X)=
例6已知曲线C与抛物线y = x2 +4x + l关于点(2, -1)对称，函数y = /(x)的图象与
曲线C关于X轴对称，则丁 = /(Q的函数关系式为
用函数图像的对称性求函数方程根的和
例7函数y = /(x)对一切实数x都满足/(i + x) = /(|-x)并且方程/(%) = 0有三个实 根，这三个实根的和
例8方程+x + l = 0和x +Vx + 1 = 0的实根分别为a和0,则a +0等于
［提示］j = x5和y =貢图像关于某直线对称，且都和直线j = -x -1相交
三****题
若函数/i(x)和/2(x)都是周期函数，最小正周期都是T,对于函数y= (x) + /2(x), 以下判断中，正确的是()
(A)最小正周期都是T (B)最小正周期都是t,且tVT
是周期函数，但可能没有最小正周期
可能是非周期函数
函数 j = /(% +1)与