《图的矩阵表》.ppt

文档介绍：第八章 图论
图的基本概念
路径和回路
图的矩阵表示
二部图
平面图
树
有向树
图的矩阵表示
1. 邻接矩阵
2. 可达性矩阵
3. 可达性矩阵的第八章 图论
图的基本概念
路径和回路
图的矩阵表示
二部图
平面图
树
有向树
图的矩阵表示
1. 邻接矩阵
2. 可达性矩阵
3. 可达性矩阵的应用
4. 关联矩阵
1、邻接矩阵
定义1 设G=<V,E>有向（无向）线图，有n个标定了次序的结点v1, v2,…vnV，则n阶方阵A=(aij)称为G的邻接矩阵，这里
例1 左下图的邻接矩阵：
注① 图的邻接矩阵与n个结点的标定次序有关，对于V中各元素不同的标定次序，可得出不同的邻接矩阵。不过这些矩阵可以通过交换行和列而相互得出。具有这样性质的矩阵称它们置换等价。
例如，左下图的两个置换等价邻接矩阵：
② 有向简单图在标定次序后得到唯一邻接矩阵;
零图的邻接矩阵的元素全为0，称为零矩阵。
完全图Kn的邻接矩阵是恰有n个0并全在对角线上的n阶(0,1)方阵。
当有向线图代表关系，关系矩阵就是邻接矩阵。
有向线图G=V,E的邻接矩阵是A，则G的逆图G~=V,E~的邻接矩阵是A的转置矩阵，记为AT。
无向简单图的邻接矩阵是对称矩阵：A=AT。
有n个结点的赋权图G=V,E,W的邻接矩阵是n阶方阵A=(aij)，其中当(vi,vj)E，aij=W(vi,vj)；否则,aij=0。
有n个结点的多重图的邻接矩阵是n阶方阵A=(aij)，其中aij代表从vi到vj的边的重数。
几个特殊图的邻接矩阵
邻接矩阵的图论意义
设A为无向简单图G的邻接矩阵，其第i行(列)元素为1的个数等于
结点的度。
邻接矩阵的图论意义
设A为无向简单图G的邻接矩阵，其第i行(列)元素为1的个数等于
结点的度。
设A为有向简单图G的邻接矩阵。
① A的第i行(列)和等于第i个结点的出(入)度，i=1,…n。
v3的出度=1+1+0+1=3，v3的入度=0+1+0+0=1
邻接矩阵的图论意义
设A为无向简单图G的邻接矩阵，其第i行(列)元素为1的个数等于
结点的度。
设A为有向简单图G的邻接矩阵。
① A的第i行(列)和等于第i个结点的出(入)度，i=1,…n。
② B=AAT=(bij)的元素 bij=ai1aj1+…+ainajn=k
表示有k个点，都是从i,j引出的有向边的
公共交点。
特别地，bii是第i结点的出度。
对偶地
可讨论ATA的元素的图论意义。
i
j
练****求AAT，ATA，并由此求每个结点的出度与入度
练****求AAT，ATA，并由此求每个结点的出度与入度
③定理1 设简单有向图G=<V,E>的邻接矩阵为A，则矩阵A(k)中的第i行第j列元素等于G中从vi到vj长度为k的不同路径的数目。
例 A(2)中的第2行第1列元素等于2，说明从v2到v1长度为2的路的有两条： v2 v4 v1 ， v2 v3 v1 。
分析: a21(2)= a21a11+a22a21+ a23a31+a24a41=0•0+0•0+1•1+1•1=2
注意从v2到v1长度为2的路中间必经由一个结点vk,即v2 vk  v1(1k4)。
一般地, A(m)中从i到j长为m的路径总数是aij(m)条，过i的长为m的回路共有aii(m)条。
④ Br=A+A(2)+A(3)+…+A(r)的元素bij表示从vi到vj长度小于等于r的
不同路径总数。
在n个结点的简单有向图中，基本路径长度不超过n-1，基本回路
长度不超过n，故可用
Bn-1=A+A(2)+A(3)+…+A(n-1) (ij时)
Bn=A+A(2)+A(3)+…+A(n) (i=j时)
研究vi到vj的可达性和经vi是否存在回路的问题。bij0(ij)表示从
vi到vj可达，否则从vi到vj不可达，分属不同强分图。bij 0(i=j)表
示经vi存在回路，否则表示不存在经vi的回路。
例2 根据有向图和矩阵B5，验证
(a) b52=0，所以v2和v5分属两个强分图。
(b) b11=0，所以没有经过v1的回路。
(c) b53=3，所以从v5到v3长度不超过5的路径有3条。
v1
v1
v1
2、可达性矩阵
定义2 设G=<V,E>为简单有向图，V={v1,v2,…vn}，定义矩阵
P=(pij)，其中
有向图G中从vi到vj是否有路可达可通过矩阵运算而得到。
P称为图G的可达性矩阵。
方法① 利用矩阵Bn（Bn-1）确定P：