放缩法技巧全总结.docx

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2011高考数学备考之放缩技巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学****能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛+<-
n23
例3•求证：如<1++1+1+A+丄>1+丄+丄+A+1=1-丄
49n22x33x4n(n+1)n+1
+1+A
(n+1)(2n+1)49
解析：
一方面：
因为丄
丄<
n2
1
14n2—1
n2一
4
j2'才12n+1
，所以刀丄<1+才丄—丄+A
k=1k2135
+亠—亠|<1+2=丄
2n—12n+1丿33
另一方面：
当n>3时'
n
>
n+1(n+1)(2n+1)
6n
，当n=1时，6n=1+丄+1+A
(n+1)(2n+1)49
6n
+—,
n2
当n=2时，
(n+1)(2n+1)
6n
<1+1+=+A
9
所以综上有6n<丄+1+1+A
(n+1)(2n+1)_49
6n
1
+<-
n23
例4.(2008年全国一卷)设函数f(x)=x—｛a｝满足0<a<xn1
a=f(a)
n+1n
设be(a,)，:役>b-
alnb+
i
解析：由数学归纳法可以证明£｝是递增数列,
n
故若存在正整数m<k，使a>b，则a>a>b
mk+1k
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若a<b(m<k)'则由0<a<a<b<1知alna<alna<alnb<0'
m1mm
a二a-aIna二a-乙Ina
k+1kkk1mm
m-1
因为工aIna<k(aInb)'于疋ak1>
mm1k+1
m-1
a+kIaInbl>a+(b一a)=b
1111
,mgN,x>—1,S-1m+2m+3m+A+nm'求证:nm+1<(m+1)S<(n+1)m+1一1-
mn
解析：首先可以证明：(1+x)”>1+nx
nm+1=nm+1—(n—1)m+1+(n—1)m+1—(n—2)m+1+A+1m+1—0[k
k=1
m+1—(k—1)m+1]
所以要证
nm+1<(m+1)S<(n+1)m+1一1八要证：
n
Kn[k
m+1—(k—1)m+1]<(m+1)^^km<(n+1)m+1—1—(n+1)m+1—nm+1+nm+1—(n—1)m+1+A+2m+1—1m+1=K[(k+1)m+1
k=1k=1k=1
故只要证艺[k
k=1
m+1—(k—1)m+1]<(m+1)^^km<[(k+1)m+1—km+1]
k-1k-1
即等价于km+1—(k—1)m+1<(m+1)km<(k+1)m+1—km'
即等价于]亠m+1<(1亠丄、门m+1<(11)t而正是成立的’所以原命题成立.
kkkk
-4n一2n'T=*2'求证：T+T+t+A+T<-.
"na+a+A+a123n2
12n
解析：4(1—4”)2(1—2”)4
T-41+42+43+A+4”—(21+22+A+2”)-—-(4”—1)+2(1—2”)
n1—41—23
所以
km+1]
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乩+2-2”+1
33
3•2”32
4”+1—3-2”+1+222-(2”)2—3-2”+1
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32=3—一—1_
2*(2-2”一1)(2”一1)_2L2”一12”+1一1
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从而
T+T+T+A+T-3(1—丄+丄一1+A
337
n2
1
+
2n—1
1\3
<_
2”+1-1丿2
=1,
n(n-2k-1,kgZ)，求证：]n—1(n-2k,kgZ)
证明：
因为
4(2n一1)(2n+1)
25<、n+、n+1'所以
4xx
2n2n+1
44n2—1>44n「
1_八
+『+A
4x-x
45
_=2X'
n2n
1
+
4xx
2”2”+1
>'2(5+1—1)(ngN*)
1-