文档介绍：第三章****题参考答案
。
解：由****题二第2题计算结果
12
p=p{g=0}=—，p=p{g=i}=—
0313
i22
E—Ox—+lx—=—
333
般对0-1分布的随机变量E有Eg0
10．一批零件中有9个合格品和3个废品，在安装机器时，从这些零件中任取1个，如果取出的是废品就不再放回去。求在取得合格品以前，已经取出的废品数的数学期望和方差。
解设g为取得合格品之前取出的废品数，则g服从如下表所示的分
布，于是
g
0
1
2
3
p
9
29
329
321
X
XX
XX
12
1211
121110
121110
Eg=0x3+1X—+2x2+3x丄=—=
44422022010
E(£2)=0X3+12X—+22X-L+32X丄=2_
44422022022
93351
D£=已(£2)-(E£)2=22-(10)2=1100'
，求3个人中生日在第1个季度的平均人数。
解设3人中生日在第1季度的人数为£,则£的分布律为
13
冰二打二C；（尹（4”述二。丄2,3）
故平均人数为
3133
E£=hkCk()K()3-K=‘
3444
k=0
⑵£有分布函数F（x）H0其丁求E£及D£解£的密度函数为
I九E入,X>0
E£=J
9(X)=F(X)=]0,X00
+8x九e」xdx=-x九e-心|+8+J+8e-^dx=:o0o九
E(£2)=J+8x2九e-^xdx=-x2九e-心|+8+21+8xe-Xxdx
0
22
I+8xke-^xdx二-九o九2
00
21
D£=E(£2)-(E£)2=-(_)
九2九
或者利用伽马函数的性质
E£=J+8x九e-入xdx=J+8x九e-入xd九x=r(2)=='0九0九九
E(g2)=f
=丄J+8(kx)2e-入xd九x=丄厂(3)=2-九2k2
2
Dg=E(g2)-(Eg)2=__
九2
13・g〜申(x)=]兀Ji一
0,其它
1,1xl<1
，求Dg和Eg
解由奇函数在对称区间的积分为零知
Eg=J1
-1兀J1一x2
或者
dx=
-1兀丫''1一x2
甕
一寸兀农一sin21
sin1esint〔cos1弹门
dsin1=2d1=—丨2=0丄兀兀一匹
22
于是
x2
sin212匹
_dsin1=一J2sin2tdt-5V1—x2-|兀J1一sin21
dt=—(——)l2=
兀240
Dg=E(g2)」1
K_
dx」~2
14•计算****题二第22题中的g+n期望与方差。
解由****题二第33题求得的g+n分布可求得其数学期望和方差
E(g+n)=3%|+4%3=-
134
2
，，
33
E[g+n2=33+
34
D(g+n)二可
15•计算****题二第23题中的期望与方差。
解由****题二第34题求得的g-n分布可求得其数学期望和方差
E(^-n)=_2X1+(-4)X丄+0X1+2XA=丄
331261218
11611585
E[(C-n)2]二4x_+x+0x_+4x二
391261227
D(g-n)=2；-咕
1091
324
16•如果g和n独立，不求出如的分布，直接从£的分布和耳的分布
能否计算出D®)，怎样计算？
解由g与耳独立，知£2与n2独立，根据数学期望的性质有
E(gn)=(Eg)(En),E(gn)2=(Eg2)(En2)
故D(£n)=E([£n)2]-[E(£n)]2=(E£2)(En2)-(E£)2(En)2
,并且n=e疋(九〉o)，若
En存在,求证对于任何实数a都有p{£>a}<e-心•Ee銘.
证明：不妨设g是连续型随机变量，其密度函数为Q(x)，注意到当
x>a时，有e九(x-a)>1(九〉0)，于是
p{g>a}二(x)dx<J+se九(x-a)申(x)dx<e-九aJ+®e九(x)dx<e-九aE(e憾)
aa-g
若£为离散型随机变量，则将推倒的积分换成级数求和同样成立。
18．证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过1/4.
证明设g为一次试验中A发生的次数，则g服从0-1分布，p=p(A)则E£=P
D=(1-p)2Xp+(0一p)2X(1-p)=p(1-p)(0<p<1)而函数p(1-p)在[0,1]上的最大值为1，故Dg<1