文档介绍：—————————————————————————————————————————————————————《平面向量数量积的坐标表示》( 北师大版必修 4) 平面向量数量积的坐标表示教学目标: 掌握两个向量数量积的坐标表示方法, 掌握两个向量垂直的坐标条件,能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题. 教学重点: 平面向量数量积的坐标表示. 教学难点: 向量数量积的坐标表示的应用. 教学过程: Ⅰ. 课题引入上一节我们学****了平面向量的数量积,并对向量已能用坐标表示, 如果已知两个非零向量 a= (x1 , y1) ,b= (x2 , y2) , 怎样用 a和b 的坐标表示 a·b呢? 这是我们这一节将要研究的问题.Ⅱ. 讲授新课首先我们推导平面向量的数量积坐标表示: 记a= (x1 , y1) ,b= (x2 , y2) , ∴a= x1i + y1j ,b= x2i + y2j ∴a·b= (x1i + y1j)(x2i + y2j) = x1x2i2 + (x1y2 + x2y1)i ·j+ y1y1j2 —————————————————————————————————————————————————————= x1x2 + y1y2 1. 平面向量数量积的坐标表示: 已知 a= (x1 , y1) ,b= (x2 , y2) , ∴a·b= x1x2 + y1y2 2. 两向量垂直的坐标表示: 设a= (x1 , y1) ,b= (x2 , y2) 则a⊥ b?a ·b= 0?x1x2 + y1y2 =0 [例 1 ]已知 a= (1,3),b= (3+ 13- 1) ,则 a与b 的夹角是多少? 分析:为求 a与b 夹角,需先求 a·b 及| a || b |,再结合夹角θ的范围确定其值. 解:由 a= (13 ),b= (3+1,3- 1) 有a· b3+1+3 (3- 1)=4,|a |= 2,|b |= 2. a·b记a与b 的夹角为θ,则 cos θ== 2|a || b| π又∵0 ≤θ≤?, ∴θ=4 评述:已知三角形函数值求角时,应注重角的范围的确定. [例 2] 已知 a= (3, 4),b= (4, 3),求x,y 的值使(xa + yb) ⊥a, 且| xa+ yb |= 1. 分析: 这里两个条件互相制约, 注意体现方程组思想. 解:由 a= (3, 4),b= (4, 3) ,有 xa+ yb= (3x + 4y, 4x+ 3y) 又(xa + yb) ⊥ a?(xa + yb) ·a=0 ?3(3x + 4y) + 4(4x + 3y) =0 即 25x + 24y =0①又| xa+ yb |= 1?| xa+ ————————————————————————————————————————————————————— yb|2=1 ?(3x + 4y)2 + (4x + 3y)2 =1 整理得: 25x2 + 48xy + 25y2 =1 即 x(25x + 24y) + 24xy + 25y2 =1②由①②有 24xy + 25y2 =1③ 15将①变形代入③可得: y=7 24 再代入①得: x= 35 24?24?x?x?????35?35 ∴?或? 55?y???y??7?7??