文档介绍：2
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空间向量与立体几何知识点归纳总结
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空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不123123
贝ija\=Ja-a=ja：+aj+a；，\b\=Qbb=^b^2+b2+b2
a-bab+ab+ab
夹角公式：cos‘：；a-b、==耳—亠
\a1•1b1aa2+a2、：b2+b2+b2AABC中①AB•AC„0<=>A为锐角②AB•AC<0<=>A为钝角，钝角A
两点间的距离公式若Ax*y,z)，B(x,y,z)，
\AB2=(x-x)2€(y-y)2+(z-z)2，
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111222则\AB\=或dA,B=P(丁x1)2+(丁"2+(亍J
空间向量的数量积。
(1)空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OA=a，OB=b，则ZAOB叫做向量a与b的夹角，记作<a，b„；且规定°-Va，b„-K，显然有Va,b〉=<b,a„；若<a,b„=-，则称a与b互相垂直，记作：a丄b。
则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：贝牡a1-1b\-COSVa,b„叫做a,b的数量积，记
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冋量的模:设OA=a，
向量的数量积：已知向量也b,
作a•b，即a-b=\a\-\b\-cos<a,b〉。
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空间向量数量积的性质：二T
①a-e=\_a\cos<a,e〉。②a<bOa-b=0
彳((5)空间向量数量积运算律：
①(,a)-b=,(a-b)=a-(,b)。②a•b=b-a(交换律)。-
a•(b+C)=a•b+a•C(分配律)。
不满足乘法结合率：(a•b)c号a(b•C)峠彳彳
二•空间向量与立体几何
线线平行O两线的方向向量平行
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1线面平行€线的方向向量与面的法向量垂直
2面面平行€两面的法向量平行
2线线垂直（共面与异面）€两线的方向向量垂直
1线面垂直€线与面的法向量平行
2面面垂直€两面的法向量垂直
3线线夹角0（共面与异面）[00,90O]€两线的方向向量n，n2的夹角或夹角的补角，cos0„cos<n1,n2,
1线面夹角0[0o,90o]:求线面夹角的步骤：先求线的方向向量AP与面的法向量n的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹
„cos<AP,n,
2面面夹角（二面角）0[0o,180o]:若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向
量ni，n2的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.
cos0„…cos<n,n,
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:求点P（x,y）到平面a的距离：在平面a上去一点Q（x,y）‘得向量PQ•；00‘
计算平面a的法向量n；.h„PQ_"
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1线面距离（线面平行）：转化为点面距离
2面面距离（面面平行）：转化为点面距离【典型例题】1．基本运算与基本知识（）
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A'b'cd，化简下列向量表达式’标出化简结果的向量。⑴AB<BC；⑵AB<AD<AAf；
⑶AB<AD<1CC'；⑷!（AB<AD<AA）。
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,B,C，问满足向量式：
OP€xOA+yOB+zOC（其中x+y+z=1）的四点p,A,B,C是否共面?
例寸已知空间三点"A（0，2，3），B（—2,1,6）,C（1,-1,5）。⑴求以向量AB,AC为一组邻边的平行四边形的面积S;
⑵若向量a分别与向量AB,AC垂直，且la1=「3，求向量a的坐标。
基底法（如何找，转化为基底运算）
坐标法（如何建立空间直角坐标系，找坐标）
，在空间四边形OABC中，OA€8，AB€6，AC=4，BC=5，,OAC=45,
,OAB€60，求OA与BC的夹角的余弦值。”
说明：由图形知向量的夹角易出错，如<OA,AC„€135易错写成<OA,AC„€45，切记!
-ABCD中,AB=BC=4，E为AC与BD的交点，F为BC•与BC的父点，又AF丄BEBB。
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【模拟试题】
已知空间四边形ABCD，连结AC,BD，设M,G分别是BC,CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：(1)AB€BC€CD；
(2)AB€-(BD€BC)；⑶AG--(AB€AC)。
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已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O引向量。
OE，kOAOF，k