文档介绍：有效改进数学教学
章建跃
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一、提高“理解数学”的水平
老师理解好数学是提高教学质量的前提。
理解数学概念的几个方面：从表面到本质—把握概念的深层结构上的进步；从抽象到学生是否理解为准，特别是以学生达到的数学双基的理解和熟练水平为标准（双基包括由内容反映的数学思想方法），而不是教师在课堂上有没有把内容“讲完”。
广种薄收是不负责任的****题的针对性不强是水平不高的表现。
忙=心亡。
四、怎样才是抓“基础”
我国“双基”的优势正在丧失；
现象：（1）数学教学＝题型教学＝刺激—反应（记忆、模范型学****2）缺少概念的概括过程，以训练代替概念教学——应用可以促进理解，但没有理解的应用是盲目的；（3）过分关注“题型”——与“题型”对应的技巧是雕虫小技，无法穷尽，结果是“讲过练过的不一定会，没讲没练的一定不会”；等。
如何改变？
要强调知识及其蕴含的思想方法教学的重要性——无知者无能；
不断回到概念去，从基本概念出发思考问题、解决问题；
加强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问题的新思路。
应追求解决问题的“根本***”——基本概念所蕴含的思想方法，强调思想指导下的操作。
例4 关于“配方法”
概念：把二次（三项）式配成一个含二项式的完全平方的式子
ax2+bx+c=a(x+b/2a) 2+(4ac－b2)/4a
依据：(a+b) 2=a 2+2ab+b2
步骤：（1）二次项系数变1；（2）加上并减去一次项系数一半的平方。
“配方法”是基本而重要的，在“三个二次”中有广泛应用。
一元二次方程的求根公式
从最简单的开始：x 2=a；变式：(x－p) 2=q，并分析“能解”的原因（可以通过开方将方程“降次”）。
对于ax2+bx+c=0，通过与“变式”的比较，得到化归为(x－p) 2=q就能解的思想方法，并让学生独立思考获得用“配方法”推导出求根公式。
这里要让学生形成一个“基本套路”：从特殊到一般，将复杂问题化归为简单问题，要注意化归的条件（完备性——思维的严谨性）
二次函数y=ax2+bx+c的性质
沿用一元二次方程求根公式的“套路”，从最简单的y=x2开始，到y=ax2，再到y=a(x－h)2+k ，最后到y=ax2+bx+c。
思想方法：“化归”到前一种情况。
研究工具：配方法。
研究的问题：开口方向、对称轴、顶点坐标、单调性（包括最大值、最小值）等，要让学生对为什么要研究这些性质有所感受。
“配方法”的灵活应用
“配方”—— “完全平方式”——非负性
例：（1）无论m取何值，2x 2+(m－1)x+(m－4)=0都有两个不等实根。——判别式是不等于0的“完全平方式”。
（2）已知x2+4y2－2x+4y+2=0，求x，y的值。——一个方程两个未知量，一般是不定的，但特殊情况下可以，即实质是“方程组”，化归的方法是“配方得到完全平方式”。
……
五、提高概念的教学水平
问题：不重视概念教学，“一个定义，三项注意”式的抽象讲解，很快进入概念的综合应用。
概念教学的核心——概括：将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念。
概念教学的基本环节
典型丰富的具体例证——属性的分析、比较、综合；
概括共同本质特征得到概念的本质属性；
下定义（准确的数学语言描述）；
概念的辨析——以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义；
用概念作判断的具体事例——形成用概念作判断的具体步骤；
概念的“精致”——建立与相关概念的联系。
例5 无理数概念的教学
例6 “反比例函数”的教学
匀速运动路程固定，速度与时间的关系；商品总价固定，单价与商品数量的关系；长方形面积固定，长与宽的关系；……
让学生概括共同本质特征；
下定义——老师完成，让学生看书；
辨析：从反比例关系、函数两方面辨析概念，强调反例的使用，如让学生思考函数y=1/x2是不是反比例函数；
例题——用概念作判断的“操作步骤”，强调“自变量x与相应的函数值y是否成反比例关系”，还可以用反例让学生分析，另外还要让学生明确“求反比例函数”的含义；
通过与正比例函数、一般函数概念等比较，进一步明确反比例函数反映了“一类事物”的变化规律，使学生逐步学会用反比例函数刻画事物的变化规律。
六、如何理解循序渐进、螺旋上升？
螺旋上升既有数学概念发展史的依据，也有学生思维发展规律的依据；
螺旋上升应该体现“必要性”，如函数概念必须螺旋式学****但平面几何的螺旋不应该是“先实验几何，论证下次再说”；一般地，整个中学数学体系上要螺旋上升而在小系统上还是“直线式”。
“螺旋式”可能产