文档介绍：一元二次不等式的解法(复****课) 复****二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是一个有机的整体。通过函数把方程与不等式联系起来, 我们可以通过对方程的研究利用函数来解一元二次不等式。如: ⑴ ax 2+bx +c=0 (a>0) 有两个不等实根 x 1 >x 2 则 ax 2+bx +c>0 的解为 x> x 1或 x< x 2 ax 2+bx +c <0 的解为 x 2 <x< x 1⑵ ax 2+bx +c=0(a>0) 若无实根即△<0 则 ax 2+bx +c>0 的解为 R ax 2+bx +c<0 的解为φ⑶ ax 2+bx +c=0(a > 0) 若有两相等实根 x 1 =x 2 则 ax 2+bx +c>0 的且解为 x≠x 1且X∈R ax 2+bx +c<0 的解为φ a<0 同理可得以上规律注:解一元二次不等式实质上是通过解一元二次方程来确定解, 通过式子> (≥)0还是< (≤)0来确定解的范围! x 1x 1 x 200 0x xyx yy 解: ∵方程 x 2-2x-15=0 的两根为 x =- 3, x=5∴不等式的解集为{x│x≥5或x ≤-3 } 。 x 2-2x-15≥ 0(x ∈ R)的解集。例1(变)求不等式 x 2-2│x│-15≥ 0(x ∈ R)的解集。解法 1:(对 x讨论) 当x>0时,原不等式可化为 x 2-2x-15≥0 由例 1 可知解为 x≥5或x≤-3 ∵x>0 ∴不等式的解集为{x│x≥5 } 当x ≤0时,原不等式可化为 x 2+2x-15≥0 则不等式的解为 x≥3或x ≤-5 ∵x≤0 ∴不等式的解集为{x│x≤-5 } 由以上可知原不等式的解为{x│x≥5或x≤-5 } 。解法 2:(利用函数奇偶性) 当x>0时,原不等式可化为 x 2-2x-15≥0 又x 2-2x-15≥0的解为 x≥5或x ≤-3∵x>0 ∴不等式的解集为{x│x≥5 } ∵函数 f(x)= x 2-2│x│-15 为偶函数∴原不等式的解为{x│x≥5 或x≤-5 } 。 0Xy 1集合问题例2(1)已知一元二次不等式 a x 2+bx +6>0 的解集为{x │- 2 <x< 3}, 求a-b的值解:一元二次不等式是通过一次方程的根来确定则可以理解为方程 a x 2+bx +6 =0的根- 2,3 又∵解在两根之间∴a<0∴=- 6∴a=- 1 =- 2+3=1∴b=1则a-b=- 2 6a a-b 解法 3:(换元法) 设│x│ =t, 则 t ≥ 0原不等式可化为 t 2-2t-15≥0 由例 1 可知解为 t≥5或t≤-3∵ t ≥ 0 ∴不等式的解集为{t│t≥5 } ∴│x│≥5 ∴原不等式的解为{x│x≥5或x≤-5 } 。(2)已知集合 A={x │ x 2- ax ≤x- a} B={x │1≤x≤3}, 若A∩ B=A 求实数 a取值范围解: A∩ B=A ,则 A 而 A : 若a≥1 则1≤x≤ a 1 ≤a≤3若a<1 则a≤x≤1那么 A ∴a取值范围是 1≤a≤3 ∩∩ BB 1 3a f(x)= x 2-6x+8 的定义域。解: ∴x 2-6x+8≥0的解为 x≥4或x≤2 ∴原不等式的解集为{x│x≥4或x≤2 } 例3(变)函数 f(x)= kx 2 -6kx+ ( k+8 )的定义域为 R (K>0)求K的取值范围 解: ∵函数 f(x)= kx 2-6kx+ ( k+8 )的定义域为 R且K>0 ∴只要△≤ 0 即(6k) 2- 4k(k+8)=32k 2-32K≤0 ∴ 0≤k≤1 又K>0 ∴ 0<k ≤1 X y0 3最值问题例4 求函数 y= x 2-2x+1的最小值解: ∵y==0 ∴y min=0 例4(1变)求函数 y= x 2-2x+1 x ∈[- 1,1] 上的最值解:∵函数 y=x 2-2x+1的对称轴为 x=1 又x∈[- 1, 1] ∴y max = f(- 1)=1+2+1=4 ∴y min =f(1)=0 例4(2变)求函数 y=ax 2-2x+1(a>0) x∈[- 1,1]的最值解:∵a>0 ∴函数 y=ax 2-2x+1的对称轴为 x=- =且>0∴≥1时即 0≤a≤1 y min =f(1)=a -1 y max = f(-1) =a+3 ∴<1时即a>1 y max =f( - 1)=a+3 y min= f( )=