文档介绍：抽象函数与解题策略
抽象函数的定义、特征和一般解题策略
什么是抽象函数？
那些没有给出函数的具体解析式，只给出一些特殊条件或特征的函数称为抽象函数。
抽象函数与一般函数的有什么联系？
抽象函数往往有它所对应的具体的函数模型。例如，x,) < f(x2),则成f(x)是定义域在D上的非减函数)。(1) 证明f(l)=0； (2)若f(x)+f(x —2)22成立，求x的取值范围。
解：(1)令 x=2,y=l,则 f(2Xl)=f(2)+f(l)n f(l)=0
(2)由已知=>f(x)+f(x—2)=f(x2—2x) N2,又 2=l+l=f(2) +f(2)=f(4)
nW—2x)Nf(4) [
又f(x)为非减的函数j
=>x2—2x^4 即 x2—2x—4N0=>xNl+或 xWl一际
A
已知f(x)对x>0有意义，且x—2>0=> x>2 /
n x g [1 + 75,+oo)
例题4、设函数f(x)的定义域为R,对于任意实数m、n,总有f(m + n) = f(m)-f(n)，且x > 0 时0<f(x)<l。(1)证明：f(0)=l,且x<0时f(x)>l； (2)证明：f(x)在R 上单调递减;
(3 )设 A = {(x, y)|f (x2) • f (y2) > f (1)}, B = {(x, y)|f (ax - y + 2) = 1, a g R},若 APlB =(|),确定a的范围。
证明：f(m + n) = f(m) - f(n)、
令m>0,n = 0 ,
nf(m) = f(m)・f(O),已知 x>0 时，0<f(x)<l
n f(0) = 1
设 m = x < 0 , n = —x>0, f(-x) g (0,1)
n f(0) = f(m+ n) = f(m) -f(n) = 1 n f(m) > 1,即当x<0时f (x) >1
Vxj < x2 g R ,则 x2 -Xj > 0,0 < f(x2 -) < 1,f(X!) > 0
nf(X2)—f(X]) = f(X2 — X] +X]) —f(X。=f(X2 — X])・f(X]) — f(X])
= f(X])[f(X2 -X])-l]<0
.-.f(x)在R上单调递减。
⑶ f(x2)-f(y2)>f(l)^f(x2+y2)>f(l) i
f(x)在R上单调递减 j
=^>x2 +y2 < 1 (单位圆内部分)
f(ax-y+ 2) = 1 = f(0) => ax —y+ 2 = 0 (一条直线)
2
A n B =(I)n , >l^a2<3^ae [-3,3]
■Va2 +1
例题5、对每一实数对x、y,函数f(t)满足f(x + y) = f(x) + f(y) + xy+l。若f(—2) = —2,
试求满足f(t) = t的整数t的个数。
解：令x = y = 0,得 f(0) = -1
令 x = y = -l,得 f(—2) = 2f(—1) + 2,又 f (―2) = —2 n f(—1) = —2
令 x = l,y = —1,得 f(l) = l
令x = l,得f(y + l) = f(y) + y + 2 nf(y + l) —f(y) =