文档介绍：1 一、空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积:各个面面积之和 2圆柱的表面积 3圆锥的表面积 2r rlS???? 4圆台的表面积 22R Rlr rlS???????? 5球的表面积 24RS??二、空间几何体的体积 1 柱体的体积 hSV??底 2 锥体的体积 hSV??底3 1 3台体的体积 hSSSSV????)3 1 下下上上( 4 球体的体积 33 4RV??三、直线、平面平行的判定与性质 1 、直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行, 用符号表示为 a?α,b?α,且 a∥b?a∥α。(1) 运用直线与平面平行的判定定理时,必须具备三个条件: ①平面外一条直线; ②平面内一条直线; ③两条直线相互平行. (2) 直线与平面平行的判定定理的关键是证明两直线平行,证两直线平行是平面几何的问题,所以该判定定理体现了空间问题平面化的思想. (3) 判定直线与平面平行有以下方法:一是判定定理;二是线面平行定义;三是面面平行的性质定理.【例 1】如右图所示,已知 P、Q是单位正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1的面 A 1B 1BA和面 ABCD 的中心. 求证: PQ∥平面 BCC 1B :如右图,取 B 1B中点 E,BC中点 F,连结 PE、QF、EF, ∵△ A 1B 1B中, P、E分别是 A 1B和B 1B的中点, ∴PE 12 A 1B QF 12 1B 1AB,∴PEQF. ∴四边形 PEFQ 是平行四边形. ∴PQ∥EF. 222rrl S???? 2 又PQ?平面 BCC 1B 1,EF?平面 BCC 1B 1, ∴PQ∥平面 BCC 1B 、平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面相交直线,: a ?β,b ?β,a∩b=P,a∥α,b∥α?β∥α(1) 运用判定定理证明平面与平面平行时,两直线是相交直线这一条件是关键, 缺少这一条件则定理不一定成立. (2) 证明面与面平行常转化为证明线面平行,而证线面平行又转化为证线线平行, 逐步由空间转化到平面. (3) 证明平面与平面平行的方法有:判定定理、线面垂直的性质定理、定义. (4) 平面与平面的平行也具有传递性. 【例 2】如右图所示,正三棱柱 ABC —A 1B 1C 1各棱长为 4,E、F、G、H分别是 AB、AC、A 1C 1、A 1B 1的中点, 求证:平面 A 1EF∥平面 BCGH . 思晨分析:本题证面面平行,可证明平面 A 1EF内的两条相交直线分别与平面 BCG H 平行,然后根据面面平行的判定定理即可证明. 证明: △ABC 中, E、F分别为 AB、AC的中点, ∴EF∥∵EF?平面 BCGH ,BC?平面 BCGH , ∴EF∥平面 BCGH .又∵G、F分别为 A 1C 1,AC的中点, ∴A 1GFC.∴四边形 A 1FCG 为平行四边形. ∴A 1F∥GC. 3 又∵A 1F?平面 BCGH ,CG?平面 BCGH , ∴A 1F∥平面 BCGH .又∵A 1F∩EF=F, ∴平面 A 1EF∥平面 BCGH . 3 、直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。用图形表示为: 用符号表示为: a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b. (1) 线面平行的性质定理是证线线平行的一个途径. (2) 证线线平行的途径还有:三角形的中位线、梯形的中位线、线面垂直的性质定理、平面内平行线的判定定理、平行公理、平面与平面平行的性质定理等. 【例 3】如右图, P为平行四边形 ABCD 所在平面外一点, M、N分别为 AB、PC 的中点,平面 PAD ∩平面 PBC =l. (1) 判断 BC与l的位置关系,并证明你的结论. (2) 判断 MN与平面 PAD 的位置关系并证明你的结论. 解: (1)BC∥: ∵四边形 ABCD 为平行四边形, ∴BC∥AD. 又BC?平面 PAD ,AD?平面 PAD ,∴BC∥平面 PAD . 又BC?平面 PBC ,平面 PBC ∩平面 PAD =l.∴BC∥l. 4 (2) MN∥平面 PAD .证明:取 CD的中点 E,连结 ME、NE. ∵M、N分别为 AB、PC的中点, ∴ME∥AD,NE∥?平面 PAD ,NE?平面 PAD , ∴ME∥平面 PAD ,NE∥平面 PAD , 又ME∩NE=E, ∴平面 MNE ∥平面 PAD .而MN?平面 MNE .∴MN∥平面 PAD . 4 .平面与平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. 用图