线性代数高等代数知识点总结.pptx

文档介绍：线性代数高等代数知识点总结
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概念
不同行不同列的元素的乘积的代数和。
性质
经转置行列式的值不变；
互换两行行列式变号；
某行有公因子可提到行列式符号外；
拆成行列式的和；
消法变换。
i >0
p=n
A=PTP
k>0
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（不满足消去律）
2 对
3 错（不满足交换律）
（不一定是方阵）

6 错 （同4）
7对
8 对
9 错（不存在关于加法的公式，同理行列式也不存在关于加法的公式）
10对
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向量
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线性表示：
列向量组1,...,r可由1,...,s线性表示当且仅当有矩阵C使得(1,...,r)=(1,...,s)C. 进一步，C的第k列恰为k的表示系数
线性表示有传递性
被表示者的秩数≤表示者的秩数
向量组等价：
对于向量组S，T，下列条件等价
S和T等价，即S,T可以互相表示
S,T的极大无关组等价
S,T的秩数相等，且其中之一可由另一表示
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线性相关与线性表示：
1,...,r线性相关当且仅当其中之一可由其余的线性表示
若,1,...,r线性相关,而1,...,r线性无关,则可由1,...,r线性表示,且表法唯一
线性无关：对于向量组1,...,r下列条件等价
1,...,r线性无关
当c1,...,cr不全为0时，必有c11+...+crr0
当c11+...+crr＝0时，必有c1＝...＝cr＝0
1,...,r的秩数等于r
(1,...,r)是列满秩矩阵
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极大无关组与秩数：
1,...,rS是S的一个极大无关组当且仅当
1,...,r线性无关
S的每个向量都可由1,...,r线性表示
秩S＝极大无关组中向量的个数
若秩S＝r,则任何r个无关的向量都是极大无关组
矩阵的秩数＝行向量组的秩数＝列向量组的秩数
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有非零解
判定方程
线性相关性的判别
特别当向量组的“向量个数＝向量维数”时，则有：
当向量维数<向量个数”时，则有向量组必线性相关.
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“短”向量组无关必有“长”向量组无关
“长”向量组相关必有“短”向量组相关
向量组“部分相关”必有“整体相关”
向量组“整体无关”必有“部分无关”
“大”向量组被“小”向量组表出，“大”向量组线性相关.
“线性无关”的向量组只可能被“不小于”它的向量组线性表出.
任何向量组只可能被“秩不小于它的秩”的向量组线性表出.
“等价无关组”具有相同的“大、小”
通俗记忆
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求向量组秩、极大无关组，表示方式
行阶梯型矩阵
一个极大无关组
原向量组一个极大无关组
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第一等价链
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第二等价链
第三十页，共54页。
与初始向量组等价
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正交矩阵
定义：
正交矩阵的性质：
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线性方程组
线性方程组的表示
方程式：
矩阵式：Ax=b, 其中A=(aij)m×n, x=(xi)n×1, b=(bi)m×1
向量式：x11+...+xnn=b, 其中i是xi的系数列
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解的判定:
1. n元线性方程组Ax=b有解系数矩阵与增广矩阵的秩数相等. 具体地，
当秩A＜秩(A b)时，方程组无解
当秩A＝秩(A b)＝n时，方程组有唯一解
当秩A＝秩(A b)＜n时，方程组有无穷解
2. 线性方程组有解常数列可由系数列线性表示. 此时, 解恰为表示的系数
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解法
Cramer法则
Gauss-Jordan消元法：
用行变换和列换法变换将增广矩阵化成行最简形
写出行最简形对应的方程组
取每个方程的第一个变量为主变量，其余的为自由变量，并解出主变量
写出参数解或通解
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解的结构
齐次线性方程组Ax=0：
解空间：解的集合
基础解系：解空间的基底
通解：设1,…,s是一个基础解系,则通解为
=c11+...+css，其中c1,...,cs是任意常数
解空间的维数＝未知数个数－系数矩阵的秩数
设秩A=r,则Ax=0的任何n-r个无关的解都是基础解系
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一般线性方程