文档介绍：矩阵相似对角化-资料
主要内容
一、矩阵相似的概念
二、矩阵相似对角形
三、小结
四、思考与练****br/>2
一. 相似矩阵的概念
定义:
设 都是 阶矩阵，若存在可逆矩阵 ，使得
则称矩矩阵相似对角化-资料
主要内容
一、矩阵相似的概念
二、矩阵相似对角形
三、小结
四、思考与练****br/>2
一. 相似矩阵的概念
定义:
设 都是 阶矩阵，若存在可逆矩阵 ，使得
则称矩阵 是矩阵 的相似矩阵，
对 进行运算 称为对 进行相似变换，
可逆矩阵 称为把矩阵 变成矩阵 的相似变换矩阵。
或称矩阵 与矩阵 相似，记作
注：1 矩阵相似是一种等价关系
（1）反身性：
（2）对称性：若 则
（3）传递性：若 则
3
分析: ,则存在可逆矩阵 ,使
与 相似, 则 与 相似( 为正整数).
,
,则
其中 是任意常数.
分析:
4
定理1: 阶方阵 相似,则有
和 的特征多项式相同,即
从而 和 的特征值相同
注: 满足(1),(2),(3)时A和B不一定相似．
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推论：若矩阵 与对角阵 相似，
则 是 的 个特征值。
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例1:设矩阵 与 相似,
求
.
解:利用
得到方程
,
再利用
得到
7
利用对角矩阵计算矩阵的方幂
若
则
k个
的多项式
8
特别地,若可逆矩阵 ,使
为对角矩阵,则
对于对角矩阵 ,有
9
得基础解系
所以 不能化为对角矩阵.
当 时，齐次线性方程组为
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三．小结
１．相似矩阵
相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好
的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：
(1)
与 相似，则
(2)
若 与 相似，且 可逆，则 也可逆，且
与 相似．
(3)
与 相似，则 与 相似. 为常数．
(4)
与 相似，而 是一多项式，则 与
相似．
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２．相似变换与相似变换矩阵
相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A变成
而可逆矩阵 称为进行这一变换的相似变换矩阵．
这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算．
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解：
例2：设
若能对角化，求出可逆矩阵 使得 为对角阵。
问 能否对角化？
四．思考与练****br/>18
得基础解系
当 时，齐次线性方程组为
当 时，齐次线性方程组为
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得基础解系
线性无关，
可以对角化。
令
则有
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注意：若令
即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的
位置要相互对应．
则有
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把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且
在理论和应用上都有意义。
可对角化的矩阵主要有以下几种应用：
1. 由特征值、特征向量反求矩阵
例3：已知方阵 的特征值是
相应的特征向量是
求矩阵
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解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵 是3 阶方阵。
因为 有 3 个不同的特征值，所以 可以对角化。
即存在可逆矩阵 , 使得
其中
求得
23
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2. 求方阵的幂
例4：设 求
解：
可以对角化。
齐次线性方程组为
当 时，
系数矩阵
令 得基础解系:
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齐次线性方程组为
当 时，
系数矩阵
令