文档介绍：第一节正规矩阵
【Schur三角化定理】设AgC-，则存在酉矩阵U，使U*AU=B，其中B为一个上三角矩阵.
【酉矩阵】n阶复方阵U的n个列向量是U空间的一个标准正交基.
UhU二UUh二EoU—i二Uh
n
性质：设有矩阵A，B第一节正规矩阵
【Schur三角化定理】设AgC-，则存在酉矩阵U，使U*AU=B，其中B为一个上三角矩阵.
【酉矩阵】n阶复方阵U的n个列向量是U空间的一个标准正交基.
UhU二UUh二EoU—i二Uh
n
性质：设有矩阵A，B，则
若A是酉矩阵，则A—1也是酉矩阵；
若A，B是酉矩阵，则AB及BA也是酉矩阵；
若A是酉矩阵，则ldet(A)l二1；
A是酉矩阵oA的n个列向量是两两正交的单位向量.
【】矩阵A可以酉对角化oAA*=A*A.
U*AU=T是上三角矩阵，AA*=(UTU*)(UTU*)*=UTU*UT*U*=UTT*U*
A*A=(UTU*)*(UTU*)=UT*U*UTU*=UT*TU*，故A*A=AA*oT*T=TT*
A可以酉对角化，则3酉矩阵U使U*AU=D
AA*=(U*DU)(U*DU)*=U*DUU*D*U=U*DD*U
=U*D*DU=(U*DU)*(U*DU)=A*A
【】设AgCnxn，若AA*=A*A，则称A是正规矩阵.
【】设A为正规矩阵，若A又为三角矩阵，则A为对角矩阵.
【】设AGCnxn，则A为正规矩阵oA有n个两两正交的单位特征向量.
【】正规矩阵属于不同特征值的特征向量是两两正交的.
【】设A=(a)是复矩阵，九，九，......，九为A的n个特征值，则
ijnxn12n
(Schur不等式)工UbIaI2
iij
i=1i,j=1
A为正规矩阵o工I九I2=工IaI2
iij
i=1i,j=1
tr(AA*)=工IaI2
i,j
i,j=1
【推论】设A为正规矩阵且幂零，则A=0.
【】设a与b是实数，且b丰0，则称二阶实矩阵
(ab]
j一baj
为一个Schur型.
【】（实正规矩阵）设A是n阶实矩阵，则A是正规矩阵O存在正交矩
阵Q使得
QtAQ=A㊉A㊉…㊉A
12s
其中每个A或者是一阶实矩阵，或者是一个Schur型.
i
【】设A是n阶实矩阵.
（1）A是对称矩阵o存在正交矩阵Q，使得QtAQ是对角矩阵；
（2）A是反对称矩阵o存在正交矩阵Q，使得
QtAQ=0㊉A㊉A㊉…㊉A
12s
（0b）其中每个A=i，从而反对称矩阵的非零特征值为纯虚数；
ib0丿
i
（3）A是正交矩阵o存在正交矩阵Q，使得
QtAQ=I㊉（—I）㊉A㊉A㊉…㊉A
st12s
其中每个A是二阶Givens旋转矩阵，从而正交矩阵的特征值的模均为1.
i
设B是n阶复矩阵.
（4）B是Hermite矩阵o存在正交矩阵U，使得UtBU是实对角矩阵；
（5）B是反Hermite矩阵o存在正交矩阵U，使得UtBU是纯虚数对角矩阵（即实部为0）；
（6）B是酉矩阵o存在酉矩阵U，使得UtBU是对角元素的模均为1的对角矩阵，从而酉矩阵的特征值的模均为1