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数值分析课程总结姓名：吴玉武学号：13121524班级：数研1301目录
第一章数值分析的历史背)(t3)dt
1/1)(t3)dt3°(t30t(t1)(t3)dt3t22)3
（号4t23t)dt27
9)言G3)30t(t1)(t1833!0!
320(t2t)(t2)dt32)dtt(t1801332
(t33t21801)(t2)dt2t)dt1t43231
(-t3t2)01841881辑279)
2、梯形求积公式
(1)梯形公式
I(f)
(X)dX—f(a)f(b)
(2)复合梯形公式n8时具有不稳定性，故不可能通过提高阶的方法来提高再在子区间上用低阶求积公
由于牛顿一柯特斯公式在求积精度。为了提高精度通常可把积分区间分成若干个子区间,式。
当n=1时，就是我们熟悉的梯形公式
b
f(X)dX
a
ba
f(a)
2
f(b)…—
,在每个子区间
Xk,Xk1(k=0,1,''',n-1)采用梯形公式，贝U得b
If(X)dX
Xk1
f(X)dX
hn
2k
f(Xk)f(Xk
1)Rn(f)
即复合梯形公式为hn
2k
f(Xk)
0
f(Xk1)
f(a)
1
f(Xk)
1
f(b)
3、辛普森求积公式
(1)辛普森公式
当n=2时，就是辛普森公式如下:
f(a)4f(a
f(b)
(2)复合辛普森公式
在每个子区间上米用辛普森公式就得:
bnI&f(X)dxk1
Xk10xkf(x)dxhn
6k1
f(Xk)4f(Xk1/2)0f")Rn(f)
即复合辛普森公式为n1
Sn-f(Xk)4f(Xk
6k0
1/2)
f(Xk1))
f(a)
n
4f(Xk1/2)k
1
f(Xk)f(b)
1
4、龙贝格求积公式
(1)算法的基本思想
4T2N
复化梯形公式的线性组合
Sn
Tn41
可得到复化Simpson公式，而复化Simpson公式通常优于复化梯形公式；进一步计算,复化Simpson公式的线性组合4S2NSN
CN~2~―
41
是复化Cotes公式，而复化Cotes公式一般优于Simpson公式。将复化Cotes公式作线性组合
rn
4C2NCn
431
称为Romberg公式。可以猜想，Romberg去，将预期得到收敛很好的计算公式，这就是公式应优于复化Cotes公式。按照这种方法做下
Romberg求积公式的基本思想。
(2)递推公式
令tN：°)Tn为将区间N等分的梯形值；T"国为将区间N等分的Simpson值;
"Cn为将区间N等分的Cotes值；tN：)Rn为将区间N等分的Romberg值。
有如下递推关系：
Ti(0)胃f(a)f(b)
T**'旦f(a(2k1)-a)
22Nk12N
4k
k(k1)(k1)
T(k)4T2N1N
由递推公式，可以得到Romberg求积法。
5、高斯求积公式
(1)高斯型求积公式bn
f(x)dxAkf(xQ
求积公式'k°含有
2n2待定参数Xk,Ak(kOJlf),适当选
的节点Xk(k°,^rn)是高斯点，系数气称为Guass系数.
对于任意次数不超过2n1的多项式均能准确成立bn(x)f(x)dxAkf(xQak°
称其为带权的高斯公式
(2)常用的高斯型求积公式
名称
局斯-勒让德
局斯-切比雪夫
局斯-拉盖尔
局斯-埃尔米特
积分区间
[1,1]
[1,1]
[°,]
[,]
权函数
(x)1
(x)=:
TTV
(x)ex
2
(x)ex
公式
1
1f(x)dx
n
Akf(xk)
k°
1f(x)■
■dx
1x
n
Akfg)
k°
°*於)
n
Akf(xk)
k°
X2■
ef(x)
n
Akf(xk)k°
余项
R22n3[(n1)!]4*
R3
(2n3)[(2n2)!]3
f(2n2)()
R——*
22n(2n)!
f(2n)()
2
R[(n1)!]*[2(n1)!]f(2n2)()
R广(n1)!*2n1(2n2)!f(2n2)()
零点
x°,x〔，…