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第五章数值积分
（2）具有m次代数精度，试证明对丁任意次数不超过m的代数多项式』（,05)+/(§+…+/())]="L641134,$广L625271；确0159262,母顼彻52；御。顼"01,*0,407297。
假设了⑴在［乩句上可积，证明复化梯形公式和复化辛卜生公式当KT3时,收敛丁积分值"」o证明：将区间【以］n等分，其节点耳2+褊或")&=虹小侦,在每个小区问国踊］上采用梯形公式并由六了)在底加上可积得：
2；在每个
小区问""用】上采用辛卜生公式得:
)]=7h十4£/(由)h+£/&])hbLi-oj-o*;-0.
>1(7+47+/)=/7T疗，Jf5月sin—二7［——7-+—t-—…
11。：网3朕%,并用理查森外推法计算年的近似值。
牌二。,1,…上一1,并取为二+(即用=2)得:
岛=
Aw=
=2
K=
Ai=
:25284271：
499
为=
:
=
569
773
久=
413=
=
715
391
675
证明：由丁当-co<X<CQ时，
r3拱t7/IV-1
sink=x-—+—-—+…+
3!5!7!伽一1)1
x——
令n得:
.7T7Tsin—=—
nn
7T
.汗
邦sin—二汗一
n
7?/
_+■—一+,・.
31?5?71?
若令四，
1,,汗
虱舫=—sinh汗二网sin—并记hn
则上式成为:
\7
?r-j4(A)+'—讣-—A4++,■,
3!5!7!,因此该公式符合理查森外推法的条
件，若记如二扩小二
…由外推算法：
与弁=…相比，有8位有效数字。
000
“2'直到第五位小数不变。
333
444
095
683
032
504
307
015
776
积分的精确值为I'=
假定六了）在落，句上有二阶连续导数，求证gT号）=证明：因抱在心］上有二阶连续导数,则:
〜、I廿+如列以+奴/a+（号）.您+奴力
丁）3-亍十号（厂丁尸3泗］
两边积分得:
S㈣5%传F+
1孕号*因
,故存在侗。"
a+ba+h
C^Tf~F
,使
广警告，即:
13. 六泌一的"；J（gsg）+“o）+A伽）试决定求积系数,使之代数精确度尽可能高。
2
解：若求积公式对川)精确成立，则必满足方程组：
船二』_]+4+耳久=司=-白《0=-aA_x+<4③牛二侦1+*,解之得：I&由于当加顼时，求积
公式仍精确成立，但当/3)二>时，求积公式不再精确成立，故该求积公式具有3次代数精度。
寻求如下的高斯型求积公式：耘加心川)+姒时解：由丁求积公式是高斯型的，故对单项式LM己"精确成立，丁是得到如下的关丁的方程组：
司+&=f兀dx=奇+也形二]/女-I+4工；=[令+s并由(1)由-(2)罚+0、(2)"-(3)刈+(4)分别得：[扣-»+!二o解之得：卜尊，因此知而是一元二次方程：也■了质冽-4十亲,即：
务的O
--
tfi
+
X
6-5
-
2
普
-
3-5
_2JL里
一3十侦，再由(1)、(2)解得:
14. fg如=(+-知虑-尊)+Q+碧雁+寄利用(52)式推导当卜2时的三角辛卜生公式。
=|cos/(x}sin?nxdx用顷等)+/"0)
解：令：砌二户，丁（”=（E）（I-警）（Z）,由（泸其中：
1rvLX/v祯\…施]靠$诫&K施
+-+Y~7m0-b)伽)'(a
=+3^+4(.3y7)(("早)L漕-gF
0-日）伽3）'
0—疔伽）'
1/vy«Vva+i\,迪3U函［疽机制.、按、二r=__灸游+4酒—w）
'―人（3-砂仙—早）~lm&诚妒&-妒"
可得当用=2