高等代数学习试题附答案.docx

文档介绍：高等代数学****试题附答案
高等代数学****试题附答案
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高等代数学****试题附答案
科 目 名 称 ： ? 高 等 代 数 ?
姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷
≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌代数学****试题附答案
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9、〔是〕
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〔〕
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10、〔是〕
三、明证题〔每题××分，共 31分〕
1、证明 设A可逆，那么A1存在，且A1也是V的线性变换，〔1〕
假定A
1,A
2,
,A
n线性有关，那么A1(A1),A
1(A
2),
,A1(An)，(2)
即1,2,
,
n也线性有关，这与假定
1,2,
,
n是基矛盾，故A1,A
2,
,A
n线性
没关。(5)反之，假定A
1,A2,
,A
n线性没关，因V是n维线性空间，故它也是V的
一组基，(7)
故对V
中随意愿量
1
有
1
A(k1
1
k22
kn
n)
，即存在
(k11
k22
knn)，使A()
1，故A为V到V
上的变换。(8)
假定
又
有
l11
l2
2
lnn
，
使
A()
1
，
即
A
l1A
1
l2A
2
lnA
n
(k1A1k2A
2
knA
n)，由于A1,A
2,
,An
是基，li
ki,(i1,2,
,n)，即
，进而A又是一一的变换，故A为可逆变换。〔10〕
2、证：
2
,
,
2
,
,
,(4)
=
,
2
,
2
,
,(8)
=2
,
2
,2
,
(10)
=0
,〔11〕
3、证：
W
W2
W
W
W
W
W
W
,(5)
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〔1〕
1
1
2
1
2
1
2
同理W1
W2
W1
W2，
(8)
那么W1W2
W1
W2。
〔10〕
四、计算题〔每题 8分，共24分〕
1、解： E A=( 2)2( 4)，那么A的特点根为 1,2 2， 3 4, (3)
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〔〕
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1 1 1
i(i
1,2,3)
，它们对应的特点向量分别为
10,2
1,3
1
，
(6)
1
0
2
1
1
1
2
0
0
易知
1,2,
3线性没关，取P0
1
1
，那么就得P1AP
0
2
0
。(8)
1
0
2
0
0
4
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2、解： E A ( 1)( 4)( 7)，那么特点根为
对应它们的线性没关的特点向量分别为
(6)
他们单位化后分别为

1
1,2
4,3
7
，
(3)
2
2
1
1
2
,2
1
,3
2
，
1
2
2
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