文档介绍：圆知识点总结计划
圆知识点总结计划
2 / 202
圆知识点总结计划
.
圆的知识点总结
〔一〕圆的有关性质
［知识归纳］
圆的有关概念：
圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心2－2
∵AE是直径，∴∠ADE＝90°
∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠E＝∠B＝25°
∴ 的度数为50°。
解法三：〔用圆心角求〕如图 2－3，连结CD
图2－3
∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠A＝65°
∵CA＝CD，∴∠ADC＝∠A＝65°
∴∠ACD＝50°，∴ 的度数为50°。
例3.：如图3，△ABC内接于⊙O且AB＝AC，⊙O的半径等于6cm，O点到BC的距离OD等于2cm，求AB的长。
析：因为不知道∠A是锐角还是钝角，因此圆心有可能在三角形内部，还可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论。
略解：〔1〕假假设∠A是锐角，△ABC是锐角三角形。如图3，由AB＝AC，可知点A是优弧的中点，因为OD⊥BC且AB＝AC，根据垂径定理推论可知，DO的延长线必过点A，连结
BO
∵BO＝6，OD＝2
∴
在Rt△ADB中，AD＝DO＋AO＝6＋2＝8
∴
图3 图3－1
〔2〕假设∠A是钝角，那么△ABC是钝角三角形，如图 3－1添加辅助线及求出 ，
在Rt△ADB中，AD＝AO－DO＝6－2＝4
圆知识点总结计划
圆知识点总结计划
8 / 208
圆知识点总结计划
;..
圆知识点总结计划
圆知识点总结计划
19 / 1919
圆知识点总结计划
.
∴AB
综上所述AB＝
小结：但凡与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。
例4.：如图4，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，F是CD延长线上一点，AF交⊙O
于E。求证：AE·EF＝EC·ED
图4
分析：求证的等积式 AE·EF＝EC·ED中，有两条线段 EF、ED在△EDF中，另两条线段
AE、EC没有在同一三角形中，欲将其置于三角形中，只要添加辅助线 AC，设法证明△FED∽
CEA即可。
证明：连结AC
∵四边形DEAC内接于圆
∴∠FDE＝∠CAE，∠FED＝∠DCA
∵直径AB⊥CD，∴
∴∠DCA＝∠CEA，∴∠FED＝∠CEA
∴△FED∽△CEA
∴ ，∴AE·EF＝EC·ED
小结：四边形内接于圆这一条件，常常不是在条件中明确给出的，而是隐含在图形之中，在分析条件时，千万不要忽略这一重要条件。
例5.：如图5，AM是⊙O的直径，过⊙O上一点B作BN⊥AM，垂足为N，其延长线交⊙O于点C，弦CD交AM于点E。
图5
〔1〕如果CD⊥AB，求证：EN＝NM；
2
〔2〕如果弦CD交AB于点F，且CD＝AB，求证CE＝EF·ED；
〔3〕如果弦CD绕点C旋转，并且与AB的延长线交于点F，且CD＝AB，那么〔2〕的结论是否仍成立？假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由。
圆知识点总结计划
圆知识点总结计划
10 / 2010
圆知识点总结计划
;..
圆知识点总结计划
圆知识点总结计划
19 / 1919
圆知识点总结计划
.
证明：〔1〕连结BM〔如图5－1〕
图5－1
∵AM是直径，∴∠ABM＝90°
∵CD⊥AB，∴BM∥CD
∴∠ECN＝∠MBN，又AM⊥BC，∴CN＝BN
Rt△CEN≌Rt△BMN，∴EN＝NM
〔2〕连结BD，BE，AC〔如图5－2〕
图5－2
∵点E是BC垂直平分线AM上一点，∴BE＝EC
∵CD＝AB，∴
∴∠ACD＝∠BDC，又AB＝AC，AE＝AE
∴△ABE≌△ACE，∴∠ABE＝∠ACD＝∠BDC
∵∠BED是公共角，∴△BED∽△FEB
2 2
∴BE＝EF·ED，∴CE＝EF·ED
〔3〕结论成立。如图 5－3
图5－3
证明：仿〔2〕可证△ABE≌△ACE
∴BE＝CE，且∠ABE＝∠ACE
又∵AB＝CD，∴
∴∠ACB＝∠DBC，∴BD∥AC
∴∠BDE＋∠ACE＝180°
而∠FBE＋∠ABE＝180°
∴∠BDE＝∠FBE，而∠BED是公共角
∴△BED∽△FEB
圆知识点总结计划
圆知识点总结计划
12 / 2012
圆知识点总结计划
;..
圆知识点总结计划
圆知识点总结计划
19 / 1919
圆知识点总结计划
.
2 2
∴BE＝EF·ED，∴CE＝EF·ED
〔二〕直线与圆的关系
1. 直线与圆的位置关系
直线和圆的位置 相离 相切 相交
公共点的个数 0 1