文档介绍：第30讲§
一、知识要点
1、圆的一般方程：方程x2 +y2 +Dx + Ey + F =0 (D2+E2-4F> 0 )表示圆心是,半径长为
-yjD2+E2 -4F 的圆.
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2、轨迹方程是指点动点M的第30讲§
一、知识要点
1、圆的一般方程：方程x2 +y2 +Dx + Ey + F =0 (D2+E2-4F> 0 )表示圆心是,半径长为
-yjD2+E2 -4F 的圆.
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2、轨迹方程是指点动点M的坐标3, y)满足的关系式.
二、典型例题
例1:求过三点A(2,2)、B(5,3)、C(3,-D的圆的方程.
解：设所求圆的方程为/ +蛆+0"印+尸=
4 + 4 + 2O + 2E + F =0
< 25 + 9 + 5Z)+ 3E + F = 0,
9 + 1 + 3。一 E + F = 0
D = -8
解得 < E = -2.:.圆的方程为 /-8x-2y + 12 = 0.
F =12
例2:设方程/ + - 2(m + 3)x +2(l-4n?)y + 16m，+ 9 = 0 ,若该方程表示一个圆，求m的取值范 围及圆心的轨迹方程.
解：配方得[x-(/n + 3)r+[>_(1一47«2)]2 =1 + 6机，该方程表示圆，贝 lJWl + 6m >0 ,得 me (-，+<»),
f
y = YYI + 3
' ,，消去 m,得 v = 4Cr-3)2-l,
y = 1-4m
i 17 17
由 m c(——,+oo)得 x=m+3g (—,+oo). 「・所求的轨迹方程是 j = 4(x-3)2 -1 , xg (—,+8)
6 6 6
例3:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x + l)2 + y2 =4±运动，求线段AB的中点轨迹 方程.
解：设圆(x + l)2 + y2 =4的圆心为P(-l,0),半径长为2,线段AB中点为M(x, y).
取PB中点N,其坐标为(zl±f 即
2 2 2 2
1 A-v
M、N 为 AB、PB 的中点,.L MN〃PA 且 MN=—PAT.
2 / 8(4,3)
动点M的轨迹为以N为圆心，半径长为1的圆.
所求轨迹方程为：3-2)2+。一沙=1. 一 (〈不小成》
2 2 \ x
点评：此解为定义法，利用中位线这一几何性质，将所求动点的轨
迹
转化为到定点的距离等于定长，
PB,取PB的中点N,，然后找出相关 的几何条件，得到动点坐标所满足等式即所求轨迹方程.
例4:求经过A(4,2), 3(-1,3)两点，旦在两坐标轴上的四个截距之和为4的圆的方程.
解：设所求圆的方程为A'2 + V2 + Dx + Ey + F=0.
当 x = 0 时，y2+ Ey + F = 0,则 yY + y2=~-,当 y = 0 时，.v +Dx + F = 0,则玉+心=一?.
16 + 4 + 4D + 2E + F =0
1 + 9-D + 3E + F =0
(-？)+(- §) = 4
2 2
D = -3
E = -5 . .I 圆的