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对于历届高考试题中数列问题的研究
上海市市西中学 杨安澜
第一部分 怎样理解和解决数列中的基本问题
1、怎样理解数列观点，解等差、等比数列的问题？
一、正确掌握数列的AAAAA
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，即 ，
解得 ，所求数列的三项为 3， 7， 11 或 11， 7， 3。
六、会证明相关数列的问题
相关数列证明题， 除了要按照证明朝数问题的一般方法与规律外， 在剖析问题时要注意运用等差、等比数列的相关观点，性质与公式。
例 1、求证：正数数列 为等比数列的充要条件是数列 为等差数列。
证明：设正数数列 为等比数列，公比为 ，则 ，
，故
是以 为首项， 为公差的等差数列。
反之，设 为等差数列，公差为 ， ，
，所以 是以 为首项，
为公比的等比数列。
例 2、已知正数数列 与 ，首项 ，对随意自然数 ，都有
成等差数列； 成等比数列。
求证：数列 是等差数列
证明：因 成等差数列， ，①又 成等比数列，
，②
， 代入①得
，两边同除以 得 ，又
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，
，所以数列 是以 为首
项， 为公差的等差数列。
说明：证明数列是等差或等比数列的解题最后步骤要明确写出此数列的首项与公差或公比。
七、会解与等差、等比数列相关的生产与生活实际中的应用题
生产与生活实际中大量的波及到增长（或降低）问题，其数学模型为等差、等比数列，可用等差，等比数列的知识解决。
例 1、已知某厂第一个月的产值为 ，第十个月的产值为 ，（ 1）如果每个月比
前一个月增加的产值数相同，求这十个月的总产值。（ 2）如果每个月比前一个月的产值数增加的百分比相同，求这十个月的总产值。
解：（ 1）由题意知，十个月的产值组成等差数列 ，其中
。由等差数列前 项
和公式得 。
（ 2）由题意知，十个月的产值数组成等比数列 ，其中
，公比为 ，则有 ，由等比数列前 项和公式得，
。
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例 2、某城市 1990 年末人口为 500 万，人均住房面积为 6 平方米，如该市每年人口平均增长率为 1％，每年平均新增住房面积数为 30 万平方米，试求 2000 年末该市的人均住房面积数。
解：该市 1990 年末住房面积数为 万（平方米），自 1990 年起，
每年年末的住房面积数是一个公差为 为 30 万的等差数列，设 1990，1991， ，
2000 年末的住房面积数分别为 ，则 万（平方米）。
自 1990 年起，每年年末人口数是一个公比 为 的等比数列，设 1990，
1991， ，2000 年末的人口数分别为 ，则 （万），
2000 年末的人均住房面积为 （平方米）。
易错题例析
示例 1、命题（ 1）：若数列 的前 项和 ，则数列 是等
比数列；
命题（ 2）：若数列 的前 项和 ，则数列 是等差
数列；
命题（ 3）：若数列 的前 项和 ，则 既是等差数列，又是等比
数列。
上述三个命题中，真命题的个数是（ ）。
（A）0； （B） 1 ； （C）2； （D） 3 。
[ 失误辨析 ] 错误地选择（ B）、（ C）、（ D）。
上述三个命题均波及到 与 的关系： ，对于
命题（1）， ，在 中，当
时， ，所以只有当 且 时数列 才是等比数列。对
于命题（2）， ，所以只有当
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时， 才是等差数列。对于命题（ 3）， ，
显然是一个常数列，只有 时才既是等差数列，又是等比数列。因此应选
择（ A）。
注意：特别数列的数列 成等差数列的充要条件是它的前 项和