文档介绍：Mathematical Contest in Modeling
第5讲: 层次分析法(AHP)建模
新余高等专科学校数学建模教练组(设计制作: syllen )
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层次分析法基本简介
层次分析法的基本步骤
1. 建立层次结构模型
2. 构造成对比较阵(判断矩阵)
3. 计算权向量并做一致性检验
4. 计算组合权向量并做组合一致性检验
不完全层次结构模型
层次分析法(AHP: Analytic Hierarchy Process)是美国著名的运筹学家
,灵活而又实用的
算知识即可理解和应用.
层次分析法简介
一. 层次分析法简介
层次分析法应用领域
应用遍及经济计划和管理,能源政策和分配,行为科学,军事指挥,运
输,农业,教育,人才,医疗,环境等领域.
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二. 层次分析法的基本步骤
一
般
的
思
维
过
程
首先,确定这些准则在你心目中各占的比重多大;
最后,将这两个层次的比较判断进行综合,作出选择.
其次,就每一准则将三个地点进行对比;
例1:(假日旅游) 有P1,P2,P3三个旅游地供选择, 假如选择的标准和依据有:景色,费用,
饮食,居住和旅途.
层次分析法的步骤
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建立层次结构模型
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景
色
居
住
旅
途
饮
食
费
用
准
则(x)
层
为实现总目标而采取的各种措施和方案
P1
P2
P3
方
案(y)
层
用于解决问题的各种措施和方案
选择旅游景点
目
标(Z)
层
解决问题的目的
(也叫总目标)
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构造成对比较矩阵(判断矩阵)
2
要比较某一层n个因素x1,x2,…,xn对上一层一个因素Z的影响,可从x1,x2,…,xn中任取
xi与xj,比较他们对于Z的贡献(或重要性)”1~9比例尺度”给xi/xj赋值.
尺度xij
1
xi与xj的影响相同
含义
3
1,1/2,…,1/9
5
7
9
2,4,6,8
xi与xj的影响稍强
xi与xj的影响强
xi与xj的影响明显地强
xi与xj的影响绝对地强
xi与xj的影响之比在上述两个相邻等级之间
xi与xj的影响之比为上面aij的互反数
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某人用上述方法得到了”假日旅游”中景色,费用,居住,饮食,旅途5个因素对于目标Z的
比较矩阵如下:
得到:
A=(xij), xij>0,xji=1/xij
判断矩阵
其中,x12=1/2表示景色x1与费用x2对选择旅游地这个目标Z的重要性之比为1:.
计算权向量并做一致性检验
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什么是权重(权系数)?
在决策问题中,通常要把变量Z表成变量x1,x2, …, xn的线性组合:
注意,x1,x2, …,xn中有的不是基数变量,而有可能是序数变量如舒适程度,积极性之类.
其中. 则叫各因素对于目标Z的权重,
叫权向量.
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小石块W1
小石块Wn
小石块W2
…
设想: 把一块单位重量的石头砸成n块小石块
做成对比较时得到
于是,所谓的权重即指各小石块在大石头中所占的比重,即各wi
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一般地,如果一个正互反矩阵A满足
=aik, i,j,k=1,2, …, n
则称A为一致性矩阵,简称一致阵.
一致阵的性质:
A的秩为1,A的唯一非零特征根为n;
A的任一列向量都是对应于特征根n的特征向量.
若A为一致阵,则对应于特征根n的,归一化