文档介绍：D62几何应用47014
2. 极坐标情形
求由曲线
及
围成的曲边扇形的面积 .
在区间
上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
所求曲边扇形的面积为
对应 从 0 变
例5. 计算D62几何应用47014
2. 极坐标情形
求由曲线
及
围成的曲边扇形的面积 .
在区间
上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
所求曲边扇形的面积为
对应 从 0 变
例5. 计算阿基米德螺线
解:
到 2 所围图形面积 .
心形线
例6. 计算心形线
所围图形的
面积 .
解:
(利用对称性)
心形线
例7. 计算心形线
与圆
所围图形的面积 .
解: 利用对称性 ,
所求面积
例8. 求双纽线
所围图形面积 .
解: 利用对称性 ,
则所求面积为
思考: 用定积分表示该双纽线与圆
所围公共部分的面积 .
答案:
二、平面曲线的弧长
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,
当折线段的最大
边长 →0 时,
折线的长度趋向于一个确定的极限 ,
此极限为曲线弧 AB 的弧长 ,
即
并称此曲线弧为可求长的.
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
(证明略)
则称
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
因此所求弧长
(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
因此所求弧长
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
因此所求弧长
则得
弧长元素(弧微分) :
(自己验证)
例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量,
成悬链线 .
求这一段弧长 .
解:
下垂
悬链线方程为
例10. 求连续曲线段
解:
的弧长.
例11. 计算摆线
一拱
的弧长 .
解:
例12. 求阿基米德螺线
相应于 0≤≤2
一段的弧长 .
解:
三、已知平行截面面积函数的立体体积
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),
则对应于小区间
的体积元素为
因此所求立体体积为
上连续,
特别 , 当考虑连续曲线段
轴旋转一周围成的立体体积时,
有
当考虑连续曲线段
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,
有
例13. 计算由椭圆
所围图形绕 x 轴旋转而
转而成的椭球体的体积.
解: 方法1 利用直角坐标方程
则
(利用对称性)
方法2 利用椭圆参数方程
则
特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积
例14. 计算摆线
的一拱与 y＝0
所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
利用对称性
绕 y 轴旋转而成的体积为
注意上下限 !
注
注
柱壳体积
说明:
柱面面积
偶函数
奇函数
例15. 设
在 x≥0 时为连续的非负函数, 且
形绕直线 x＝t 旋转一周所成旋转体体积 ,
证明:
证:
利用柱壳法
则
故
例16. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,
并
与底面交成 角,
解: 如图所示取坐标系,
则圆的方程为
垂直于x 轴 的截面是直角三角形,
其面积为
利用对称性
计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .
思考: 可否选择 y 作积分变量 ?
此时截面面积函数是什么 ?
如何用定积分表示体积 ?
提示:
解: 垂直 x 轴的截面是椭圆
例17. 计算由曲面
所围立体(椭球体)
它的面积为
因此椭球体体积为
特别当 a = b = c 时就是球体体积 .
的体积.
例18. 求曲线
与 x 轴围成的封闭图形
绕直线 y＝3 旋转得的旋转体体积.
(1994 考研)
解: 利用对称性 ,
故旋转体体积为
在第一象限
四、旋转体的侧面积 (补充)
设平面光滑曲线
求
积分后得旋转体的侧面积
它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .
取侧面积元素:
侧面积元素
若光滑曲线由参数方程
给出,
则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的
注意:
侧面积为
的线性主部 .
不是薄片侧面积△S
例19. 计算圆
x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .
解: 对曲线弧
应用公式得
当球台高 h 2 R 时, 得球的表面积公式