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第六章 不等式
第二节 不等式放缩技巧十法
证明不等式，其基本方法参阅<数学是怎样学任意，有
例9 设，求证：数列单调递增且
[解析] 引入一个结论：若则
（可通过构造一个等比数列求和放缩来证明，略）
整理上式得（），
以代入（）式得
即单调递增。
以代入（）式得
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此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，又因为数列单调递增，所以对一切正整数有。
注：上述不等式可加强为简证如下：
利用二项展开式进行部分放缩：
只取前两项有对通项作如下放缩：
故有
二 部分放缩
例10 设,求证：
[解析]
又（只将其中一个变成，进行部分放缩），
，
于是
【例11】 设数列满足，当时证明对所有 有：
；
.
【解析】 用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，
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则当时，成立。
利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得
【注】上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：
；
证明就直接使用了部分放缩的结论。
三 添减项放缩
上述例5之法2就是利用二项展开式进行减项放缩的例子。
例12 设，求证.
[简析] 观察的结构，注意到，展开得
即，得证.
例13 设数列满足
（Ⅰ）证明对一切正整数成立；
（Ⅱ）令，判定与的大小，并说明理由。
[简析] 本题有多种放缩证明方法，这里我们对（Ⅰ）进行减项放缩，有
法1 用数学归纳法（只考虑第二步）；
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法2
则
四 利用单调性放缩
1. 构造数列
如对上述例1，令则，
递减，有，故
再如例5，令则，即递增，有，得证！
2．构造函数
例14 已知函数的最大值不大于，又当时
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，证明
[解析] （Ⅰ）=1 ；（Ⅱ）由得
且
用数学归纳法（只看第二步）：在是增函数，则得
例15 数列由下列条件确定：，．
（I） 证明：对总有；
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(II) 证明：对总有
[解析] 构造函数易知在是增函数。
当时在递增，故
对(II)有，构造函数
它在上是增函数，故有，得证。
【注】①本题为02年高考北京卷题，有着深厚的科学背景：是计算机开平方设计迭代程序的根据；同时有着高等数学背景——数列单调递减有下界因而有极限：
②是递推数列的母函数，研究其单调性对此数列本质属性的揭示往往具有重要的指导作用。
五 换元放缩
例16 求证
[简析] 令，这里则有
，
从而有
注：通过换元化为幂的形式，为成功运用二项展开式进行部分放缩起到了关键性的作用。
例17 设，，求证.
[简析] 令，则，，应用二项式定理进行部分放缩有
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，
注意到，则（证明从略），因此.
六 递推放缩
递推放缩的典型例子，可参考上述例11中利用部分放缩所得结论 进行递推放缩来证明，同理例7中所得和、例8中、 例13（Ⅰ）之法2所得都是进行递推放缩的关键式。
七 转化为加强命题放缩
如上述例10第问所证不等式右边为常数，难以直接使用数学归纳法，我们可以通过从特值入手进行归纳探索、或运用逆向思维探索转化为证明其加强命题：
再用数学归纳法证明此加强命题，就容易多了。
例18 设，定义，求证：对一切正整数有
[解析] 用数学归纳法推时的结论，仅用归纳假设及递推式
是难以证出的，因为出现在分母上！可以逆向考虑：
故将原问题转化为证明其加强命题：
对一切正整数有（证略）
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例19 数列满足证明
[简析] 将问题一般化：先证明其加强命题
用数学归纳法，只考虑第二步：
因此对一切有
例20 已知