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不等式证明的技巧
翔宇教育集团宝应中学 王朝和
知识与方法
证明不等式的方法很多，技巧性强；如较低要求的，在所证不等式两端同 欢迎下载
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例5 设，且，证明
（1998年第39届IMO预选试题）
分析 可利用均值不等式构造三个同向不等式相加来进行证明，也可以将所证不等式进行等价转化。
证法一: 因，所以
①
4 ②
③
以上三式相加可得：
上述不等式都是在时取等号.
所以，当且仅当时原不等式取等号.
证法二: 原不等式等价于
由于对任意正数，有，下面证明更强的不等式：
④ 成立.
设，
则，且在上是严格递增函数，因为
只需证明即可.
其证明如下：
假设，则. 由，得，.
因，
所以
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故原不等式成立. 等号当且仅当时成立.
评注 证法1利用均值不等式进行证明，显得简洁、清晰；证法2是将所证不等转化为更强的不等式，再进行证明。
已知，且，证明：成立的条件.
分析 因是关于的轮换对称式。
证明 设，又因，
则
.
不等式等号当且仅当或或时成立.
评注 对于“轮换对称式”，不能将其中的变量排序；有时只能找到一个最小字母作“弱”排序。
例7 设，且满足，试证：
分析 由已知条件，可知所证不等式与等价.
故可运用“含参数基本不等式”来证明之.
证明 由（为参数），得
则有 ①
②
③
①+②+③，得
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④
因，取，代入④中，得
评注 本题是先将所证不等式进行等价转化，再运用“含参数基本不等式”进行证明，当然也可利用柯西不等式进行证明，还可以直接利用基本不等式来证明。
例8 （1）设，满足：
（a）
（b）,
证明：
（2）设，对所有不同的子集，有
，证明：
分析 可运用数学归纳