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平面法向量在立体几何中的初步应用潘继军
〈〈全日制普通高级中学教科书(试验修订本•必修)•数学》: .
平面法向量在立体几何中的初步应用潘继军
〈〈全日制普通高级中学教科书(试验修订本•必修)•数学》第二册(下B)中仅给出
了平面法向量的定义，法向量的应用在教材中没有做进一步拓展。笔者认为，法向量是值得我们挖掘的一个问题，在求点到平面的距离，直线与平面所成角以及二面角时，如果能以平面法向量为载体，往往可以收到化难为易的效果，而且还可以使整个解题过程转化为程序化的向量运算，简捷方便，能减轻学生空间想象之困难。本文就平面法向量在立体几何中的初步应用谈一点体会。
、以平面法向量为载体，求点到平面的距离
如母],若向量邛为平面』的一■"法向量，则点#到平面皿的距^d=IPA\cm&=IR?■毛I■pVi
例1(2003年全国高考文科试题)已知正四棱柱ABC9』归13风，A41，应我11=2,点E为C—1中点，求点到平面BDE的距离。
解：建立空间直角坐标系Db-xyz(图2),贝UD(0,0,0),B(1,1,0),D(0,0,2),E(0,1,1)。设平面DBE的法向量为y]=(x,y,z)。
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T]=(x,—x,x)。
不妨令X=1,则T]=(1,—1,1)。
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二、以平面法向量为载体，求直线与平面所成的角
如图1,直线玲与平面4所成的角£用。=?一9,而诚='F"I
例2(1995年理科高考试题)如图3,圆柱的轴截面ABCD^正方形，点E在底面圆周上，如果圆柱与三棱锥D—ABE的体积比等于3兀，求直线DE与平面ABCD所成的角。
解，过E作见于E,则由于^ABCD±平面X班，平面,踏D门平面4境=胃3E瓦1平面娅CD,则区牙是平面ABCD的一个床向童，令4E=2r,则办氏=2#尸，心一』&占二们-=M?逐H、由7afe!7i>-ABE~31t=^EH-r尸为航中点，AS—BE.
建立空间直角坐标系A—xyz(图3),贝UE(r,r,0),D(0,0,2r),H(0,r,0)。
图3
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.二直线与平面J1BCD所成角为g-&rccoS—arCfiitl"~*、以平面法向量为载体，求二面角
如图4,SPA±frfA,理呻于8则平面H4匠LCD,°D=E,连接也4、ES则£+/JLPB=用顼】处分别为平面心#的法向重，匕4朋=＜