文档介绍：学习好资料 欢迎下载
学习好资料 欢迎下载
学习好资料 欢迎下载
专题 二次函数中的面积计算问题
[典型例题]
第10题
例. 如图，二次函数图象与轴交于A,B两点(A在）代入上式，解得a＝－．
∴该抛物线的解析式为y＝－(x＋2)(x－4)
即y＝－x 2＋x＋4．
（2）∵y＝－x 2＋x＋4＝－(x－1)2＋．
∴抛物线的顶点P的坐标为（1，）．
过点P作PE⊥轴于点E，如图．
则S△PAB＝S四边形PEOB－ S△AOB－ S△PEA
＝×(1＋4)×－×4×2－×(－2)×1＝6．
（3）假设存在这样的点M，其坐标为M（x，y）．
则S△MBC ＝| y |×6＝S△PAB＝6
即| y |×6＝6，∴y＝±2．
当y＝2时，－(x－1)2＋＝2，解得x＝；
当y＝－2时，－(x－1)2＋＝－2，解得x＝．
∴存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积，其坐标为：
M1（，2），M2（，2），M3（，－2），M4（，－2）．
例4．如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x 2－2x－8＝0的两个根．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；
B
A
y
O
P
E
C
x
（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
学习好资料 欢迎下载
学习好资料 欢迎下载
学习好资料 欢迎下载
解：（1）解方程x 2－2x－8＝0，得x1＝－2，x2＝4．
∴A（4，0），B（－2，0）．∵抛物线与x轴交于A，B两点，∴可设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－4)（a≠0）
又∵抛物线与y轴交于点C（0，4），∴a×2×(－4)＝4，∴a＝－．
∴抛物线的解析式为y＝－(x＋2)(x－4)，即y＝－x 2＋x＋4
B
A
y
O
P
E
C
x
G
（2）设点P的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G，如图．
∵A（4，0），B（－2，0），∴AB＝6，BP＝m＋2．
∵PE∥AC，∴△BPE∽△BAC．
∴＝，∴＝，∴EG＝
∴S△CPE＝S△CBP－S△BPE
＝BP·CO－BP·EG
＝(m＋2)(4－)
＝－(m－1)2＋3
又∵－2≤m≤4，∴当m＝1时，S△CPE有最大值3．
此时点P的坐标为（1，0）
（3）存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，点Q的坐标为：
Q1(1，1)，Q2(1，)，Q3(1，)，Q4(1，)，Q5(1，)
B
A
y
O
C
x
Q1
Q2
Q4
Q3
Q5
设点Q的坐标为（1，n）．
∵B（－2，0），C（0，4），∴BC2＝(－2)2＋42＝20．
①当QB＝QC时，则QB2＝QC2．
即(－2－1)2＋y2＝(－1)2＋(4－y)2，∴y＝1．
∴Q1(1，1)
②当BC＝BQ时，则BQ2＝BC2．
即(－2－1)2＋y2＝20，∴y＝．
∴Q2(1，)，Q3(1，)．
③当QC＝BC时，则QC2＝BC2．
即12＋(4－y)2＝20，∴y＝．
∴Q4(1，)，Q5(1，)．
例5．如图1，抛物线y＝x 2－2x＋k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－3）．（图2、图3为解答备用图）
（1）k＝_____________，点A的坐标为_____________，点B的坐标为_____________；
（2）设抛物线y＝x 2－2x＋k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；
学习好资料 欢迎下载
学习好资料 欢迎下载
学习好资料 欢迎下载
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在抛物线y＝x 2－2x＋k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．
y
x
B
A
O
C
图2
y
x
B
A
O
C
图1
y
x
B
A
O
C
图3
解：（1）－3，（－1，0），（3，0）；
y
x
B
A
O
C
图1
M
（2）连结OM，如图1．