文档介绍：.
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正项级数敛散性的判别方法
摘要:正项级数是级数容中的一种重要级数，它的敛散性是其根本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比拟这些方法的不同特点，总结出一些数收敛；当级数发散；而当时，级数的敛散性不能判定。[4]
定理二、三给出的判别法较根值判别法更为精细。定理的应用不再详细举例，比方对级数及，值或根值判别法不能判别其敛散性，但用本文的定理二或定理三其敛散性即可判别。
(比值判别法)及其推广
定理三〔比值判别法的极限形式〕：有正项级数〔〕，且
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1〕当时，级数收敛。
2〕当时，级数发散。
例1：判别级数的敛散性。
解：由于，所以根据达朗贝尔判别法的推论知，级数收敛。
，在借鉴比值判别法的根底上，通过对构成正项级数的解析式进展分析给出了判断正项级数敛散性的一种方法。
定理一：设是取值为正且可导的函数。
1〕如果存在负数，使得当足够大时有，那么正项级数收敛；
2〕如果存在正数，使得当足够大时有，那么正项级数发散；
3〕如果不存在满足以上条件的实数，那么正项级数可能收敛，也可能发散。[5]
定理一的应用不再详细举例，比方对级数、和的敛散性那么可用上述的定理。[5]
正项级数的审敛法有很多种，其中以达朗贝尔比值审敛法与柯西根值审敛法是最根底也是使用频率最高的两种方法。一般情况下，这两种审敛法都是分开来使用，事实上将这两种方法结合在一起也可以得到一种新的审敛法。
定理一：设。假设。那么
1〕当时，级数收敛；
2〕当时，级数发散；[6]
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例1：判定级数的敛散性。
解：设。那么
由于，所以原级数收敛。[6]
上述判别法的出现，极拓宽了级数敛散性的判别围，简化了级数的问题。
定理一(积分判别法)：设为上非负减函数，那么正项级数与反常积分同时收敛或同时发散。
例1：证明调和级数发散。
解：将原级数换成积分形式，由于，即发散，根据积分判别法可知，调和级数发散。
定理一〔拉贝判别法的极限形式〕：设为正项级数，且极限存在，那么
1〕当时，级数收敛；
2〕当时，级数发散。
例1、判断级数的敛散性。
解：由于，所以原级数是发散的。
，是根据及其极限与1的大小关系来鉴别敛散性。但是对有些级数仍无法判别其敛散性，如
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，所以许多作者对这些判别法作了研究与推广。
定理2：设为正项级数，满足，且，那么有
1〕假设，那么收敛；
2〕假设，那么发散。[7]
文献[4]中判别正项级数敛散性的一个主要定理如下：
定理3：设为正项级数且满足，那么有
1〕当时，那么级数收敛；
2〕当时，那么级数发散。[8]
显然，定理2是上述的定理的改良。事实上，由定理2知，那么。
这里令。故
1〕假设，那么必有；
2〕假设，那么只要再假设满足，就有
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例1：判定级数的敛散性。
解：由于，
由定理2的变形形式可知，，故此级数收敛。
易见此方法较[4]中例1的方法简便。
文献[9]给出了判别正项级数敛散性的一种对数判别法的极限形式，就是比拟与1的大小来鉴别级数的敛散性。
由于级数与反常积分在本质上是一样的，都是"求和〞运算，只不过是对两种不同的变量求和，因此，文献[9]将反常积分的对数审敛法推广到级数中去，从而得到正项级数敛散性的对数审敛法。第一对数审敛法是计算与0的大小，第二对数审敛法是计算与0的大小来鉴别敛散性。
而文献[11]那么是巧用麦克劳林级数展开式给出了一种比值对数判别法。
对数判别法和非正常积分与正项级数的对数判别法分别给出了两种不同形式对数判别法的，根据级数的形式选择适宜的判别法，与非正常积分与正项级数的对数判别法比拟对数判别法主要适用于判别幂指形级数的敛散性。
设级数，假设为单调有界数列，且级数收敛，那么级数收敛。
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设级数，假设为单调递减，且又级数的局部和数列有界，那么级数收敛。
3正项级数敛散性判别方法比拟
、通项为等差或等比值或通项为含二项以上根式的四那么运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的充要条件即判别敛散性的简单方法进展判断。