文档介绍：复变函数积分方法总结
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复变函数积分方法总结
数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型,也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函
原函数法(牛顿-莱布尼茨公式)：
，解析函数在单连通域B内沿简单曲线C的积分只与起点Zo与终点Zi有关，即
fcf(Od<=£if(9d4这里的％和Zo积分的上下限。当下限Zo固定，让上限Z】在B内变动，则积分斑B内确定
了一个单值函数F(z),即F(z)=fzlf(Od^所以有
z0
若f(z)在单连通区域B内解析,则函数F(z)必为B内的解析函数,
且F6)寸(z),(z)dz=F(zD-F(z0).z()
例题：求。zcoszdz
解：函数zcosz在全平面内解析
1・j：zcoszdz=zsinz|o-J^sinzdz
=isini+cosz|})=isini+cosi-1
此方法计算复变函数的积分和计算微积分学中类似的方法，但是要注意复变适合此方法的条件。
柯西积分公式法：
设B为以单连通区域,Z。位B中一点，如f(z)在B内解析，则函数照Z-Zq
在Zo不解析，所以在B内沿围绕Zo的闭曲线C的积分人里dz一般CZ-Zo
不为零。取Zo位中心，以5>0为半径的正向圆周|z-Zol二b位积分
曲线小,由于f(z)的连续性，所以
f-^-dz=f-^-dz=2Trif(Zo)
Jcz-zoJCsz-zo、J
定理：若f(z)在区域b内解析，c为D内任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，zo为C内的任一点，有：
f(z。)嗫4
胆dzz-z0
例题一)心2等dz
解：二2ttisinz|z=o=O
2)(£..£dz
^1z|=2(9-z2)(z+i)
z
解：=4zl2¥TdZ
J|z|=2z-(-i)
=2-
n
Z=-,=F
解析函数的高阶导数:
解析函数的导数仍是解析函数，它的n阶导数为
f3)(zo)二亲f「.曲⑺二1,2…)
其中C为f(z)的解析区域D内围绕Zo的任一条正向简单闭曲线，而它的内部全含于D.
例题：&|^dzC：|Z|=1
解：由高阶导数的柯西积分公式:
原式:2巾・能，)⑷码吗
.解析函数与调和函数:
定义：(1)调和函数：如果二元实函数(p(x,y)在区域D内具有二阶连续函数，且满足拉普拉斯方程：
需言二0,则称(p(x,y)为区域D内的调和函数。若f(z)=u+iv为解析函数，则u和v都是调和函数，反之不一定正确
(2)共规调和函数:u(x,y)为区域内给定的调和函数，我们把是u+iv在D内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共辗调和函数。若v是u的共拢调和函数，则-u是v的共规调和函数关系：任何在区域D内解析的函数，它的实部和虚部都是D内的调和函数；且虚部为实部的共规调和函数。
求解方法：
(1)偏积分法：若已知实部u=u(x,y),利用C-R方程先求得v的
偏导数会二券两边对y积分得v=/黑dy+g(x).再由新二-3又
得\/Mdy+g6)=-詈从而g(x)二/[一兽一白/鲁dy]dx+C
dxJdxJz0yokzjlQydxJdx'」
1*丫+八_新_//+dy]dx+C同理可由v(x,y)求u(x,y).
不定积分法：
因为f&)=Ux+iVx=Ux-iUy=Vy+iVx
所以f(z)=JU(z)dz+cf(z)=fV(z)dz+c
线积分法：若已知实部u=u(x,y),利用C-R方程可得的
.嘤dx+新dy二一新dx+/萨dy故虚部为
((X，y)Ou」.Ou」(
V二/、一7—dx+--dy+C
J(,)药dx该积分与路径无关，可自选路径，同理已知v(x,y)也可求u(x,y).
例题：设u=x2-y2+xy为调和函数，试求其共筑函数v(x,y)级解析
函数f(z”u(x,y)+iv(x,y)
解：利用C-R条件
d2uo
卡-2
duc011cd2uc
--=2x+y——=-2y+x—=2
dxOydxz
所以满足拉普拉斯方程，有
dvducdvd\io
--=二2y-x--=t-=2x+y
dxdyrdydx1
所以v=/(2y-x)dx+(p(y)=2xy-y+<p(y)萨二2x+(p(y)=2x+y
<p(y)=y叩(y)二3c
v(x7)=2xy-y+^+c
f(z)=u(x/y)+iv(x/y)=|(2-i)z2+iC
.留数求积分：
留数定义：设Zo为函数f(z)的一个孤立奇点，即f(z)